设 $ \triangle ABC $ 的内角 $ A $，$ B $，$ C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $，已知 $ a=1 $，$ b=2 $，$ \cos C={\dfrac{1}{4}} $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $ \triangle ABC $ 的周长；标注答案解析$\because$ $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1+4-4\times {\dfrac{1}{4}}=4 $，$\therefore$ $ c=2 $．
$\therefore$ $ \triangle ABC$ 的周长为 $a+b+c=1+2+2=5 $． -
求 $ \cos\left(A-C\right) $ 的值．标注答案解析$\because$ $ \cos C={\dfrac{1}{4}} $，$\therefore$ $ \sin C=\sqrt{1-{\cos ^2} C}=\sqrt{1-\left(\dfrac14\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$．
$\therefore$ $ \sin A={\dfrac{a\sin C}{c}}= \dfrac{{\dfrac{{\sqrt{15}}}{4}}}{ 2} ={\dfrac{{\sqrt{15}}}{8}} $．
$\because$ $ a<c $，$\therefore$ $ A<C $，故 $ A $ 为锐角，
$\therefore$ $ \cos A=\sqrt{1-{\sin^2}A}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{15}}8\right)^2}=\dfrac78 $．
$\therefore$ $ \cos\left(A-C\right) =\cos A\cos C+\sin A\sin C ={\dfrac{7}{8}}\times {\dfrac{1}{4}}+{\dfrac{{\sqrt{15}}}{8}}\times {\dfrac{{\sqrt{15}}}{4}}={\dfrac{11}{16}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
