题目 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 $ v $（单位：千米 / 小时）是车流密度 $ x $（单位：辆 / 千米）的函数．当桥上的车流密度达到 $ 200 $ 辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 $ 0 $；当车流密度不超过 $ 20 $ 辆 / 千米时，车流速度为 $ 60 $ 千米 / 小时．研究表明：当 $ 20\leqslant x\leqslant 200 $ 时，车流速度 $ v $ 是车流密度 $ x $ 的一次函数． 问题1 当 $ 0\leqslant x\leqslant 200 $ 时，求函数 $ v\left(x\right) $ 的表达式； 答案1 解析1 由题意，当 $ 0\leqslant x\leqslant 20 $ 时，$ v\left(x\right)=60 $；当 $ 20\leqslant x\leqslant 200 $ 时，设 $ v\left(x\right)=ax+b $，<br/>再由已知得\[\begin{cases} 200a+b=0 ,\\20a+b=60,\end{cases}\]解得\[ \begin{cases}a=-{\dfrac{1}{3}},\\b={\dfrac{200}{3}}.\end{cases} \]故函数 $ v\left(x\right) $ 的表达式为\[ \begin{split}v\left(x\right)= \begin{cases}60, &0\leqslant x<20 ,\\ {\dfrac{1}{3}}\left(200-x\right), &20\leqslant x\leqslant 200 .\end{cases}\end{split}\] 备注1 问题2 当车流密度 $ x $ 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 / 小时）$ f\left(x\right)=x\cdot v\left(x\right) $ 可以达到最大，并求出最大值．（精确到 $ 1 $ 辆 / 小时） 答案2 解析2 依题意并由（1）可得\[ \begin{split} f\left(x\right)= \begin{cases}60x , &0\leqslant x<20,\\ {\dfrac{1}{3}}x\left(200-x\right), &20\leqslant x\leqslant 200,\end{cases}\end{split} \]当 $ 0\leqslant x\leqslant 20 $ 时，$ f\left(x\right) $ 为增函数，则当 $ x=20 $ 时，其最大值为\[ 60\times 20=1 200; \]当 $ 20\leqslant x\leqslant 200 $ 时，\[ f\left(x\right)={\dfrac{1}{3}}x\left(200-x\right)\leqslant {\dfrac{1}{3}} \left[{\dfrac{x+\left(200-x\right)}{2}}\right]^ 2={\dfrac{10 000}{3}}, \]当且仅当 $ x=200-x $，即 $ x=100 $ 时，$ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left[20,200\right] $ 上取得最大值 $ {\dfrac{10 000}{3}} $．<br/>综上，当 $ x=100 $ 时，$ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left[0,200\right] $ 上取得最大值 $ {\dfrac{10 000}{3}}\approx 3 333 $，<br/>即当车流密度为 $ 100 $ 辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 $ 3 333 $ 辆 / 小时． 备注2