设动点 $ M $，其坐标为 $ \left(x,y\right) $，
当 $ x\neq \pm a $ 时，由条件可得\[ \begin{split}k_{MA_1}\cdot k_{MA_2}&={\dfrac{y}{x+a}}\cdot {\dfrac{y}{x-a}}\\&={\dfrac{y^2}{x^2-a^2}}=m ,\end{split}\]即\[ mx^2-y^2=ma^2\left(x\neq \pm a\right) ,\]又 $ A_1\left(-a,0\right) $，$ A_2\left(a,0\right) $ 的坐标满足\[ mx^2-y^2=ma^2 ,\]故依题意，曲线 $ C $ 的方程为\[ mx^2-y^2=ma^2 .\]当 $ m<-1 $ 时，曲线 $ C $ 的方程为 $ {\dfrac{x^2}{a^2}}+{\dfrac{y^2}{-ma^2}}=1 $，$ C $ 是焦点在 $ y $ 轴上的椭圆；
当 $ m=-1 $ 时，曲线 $ C $ 的方程为 $ x^2+y^2=a^2 $，$ C $ 是圆心在原点的圆；
当 $ -1<m<0 $ 时，曲线 $ C $ 的方程为 $ {\dfrac{x^2}{a^2}}+{\dfrac{y^2}{-ma^2}}=1 $，$ C $ 是焦点在 $ x $ 轴上的椭圆；
当 $ m>0 $ 时，曲线 $ C $ 的方程为 $ {\dfrac{x^2}{a^2}}-{\dfrac{y^2}{ma^2}}=1 $，$ C $ 是焦点在 $ x $ 轴上的双曲线．

由（1）知，当 $ m=-1 $ 时，$ C_1 $ 的方程为 $ x^2+y^2=a^2 $；
当 $ m\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $ 时，
$ C_2 $ 的两个焦点分别为 $ F_1\left(-a{\sqrt{1+m}},0\right) $，$ F_2\left(a{\sqrt{1+m}},0\right) $．
对于给定的 $ m\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $，$ C_1 $ 上存在点 $ N\left(x_0,y_0\right)\left(y_0\neq 0\right) $ 使得 $ S=|m|a^2 $ 的充要条件是\[\begin{split} \begin{cases}x^2_0+y^2_0=a^2,y_0≠0, &\quad \cdots \cdots ① \\
{\dfrac{1}{2}}·2a{\sqrt{1+m}}|y_0|=|m|a^2. &\quad \cdots \cdots ② \end{cases} \end{split}\]由 $ ① $ 得 $ 0<|y_0|\leqslant a $，由 $ ② $ 得 $ |y_0|={\dfrac{|m|a}{{\sqrt{1+m}}}} $．
当 $ 0<{\dfrac{|m|a}{{\sqrt{1+m}}}}\leqslant a $，即 $ {\dfrac{1-{\sqrt{5}}}{2}}\leqslant m<0 $，或 $ 0<m\leqslant {\dfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}} $ 时，
存在点 $ N $，使 $ S=|m|a^2 $；
当 $ {\dfrac{|m|a}{{\sqrt{1+m}}}}>a $，即 $ -1<m<{\dfrac{1-{\sqrt{5}}}{2}} $，或 $ m>{\dfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}} $ 时，
不存在满足条件的点 $ N $．
当 $ m\in \left[ {\dfrac{1-{\sqrt{5}}}{2}},0 \right)\cup \left(0,{\dfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}} \right]$ 时，
由 $ {\overrightarrow {NF_1}}=\left(-a{\sqrt{1+m}}-x_0,-y_0\right) $，$ {\overrightarrow {NF_2}}=\left(a{\sqrt{1+m}}-x_0,-y_0\right) $，
可得\[ {\overrightarrow {NF_1}}\cdot {\overrightarrow {NF_2}}=x^2_0-\left(1+m\right)a^2+y^2_0=-ma^2 .\]令 $ \left|{\overrightarrow {NF_1}} \right|=r_1 $，$ \left|{\overrightarrow {NF_2}} \right|=r_2 $，$ \angle F_1NF_2=\theta $，
则由 $ {\overrightarrow {NF_1}}\cdot {\overrightarrow {NF_2}}=r_1r_2\cos \theta =-ma^2 $，可得 $ r_1r_2=-{\dfrac{ma^2}{\cos \theta }} $，
从而\[ S={\dfrac{1}{2}}r_1r_2\sin \theta =-{\dfrac{ma^2\sin \theta }{2\cos \theta }}=-{\dfrac{1}{2}}ma^2\tan \theta ,\]于是由 $ S=|m|a^2 $，可得\[ -{\dfrac{1}{2}}ma^2\tan \theta =|m|a^2 ,\]即\[ \tan \theta =-{\dfrac{2|m|}{m}} .\]综上可得：
当 $ m\in \left[ {\dfrac{1-{\sqrt{5}}}{2}},0 \right)$ 时，在 $ C_1 $ 上存在点 $ N $，使得 $ S=|m|a^2 $，且 $ \tan \angle F_1NF_2=2 $；
当 $ m\in \left(0,{\dfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}} \right]$ 时，在 $ C_1 $ 上存在点 $ N $，使得 $ S=|m|a^2 $，且 $ \tan \angle F_1NF_2=-2 $；
当 $ m\in \left( -1,{\dfrac{1-{\sqrt{5}}}{2}}\right) \cup \left({\dfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}},+\infty \right) $ 时，在 $ C_1 $ 上不存在满足条件的点 $ N $．