题目 设 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，$a$，$b$，$c$ 分别是内角 $ A $、$ B $、$ C $ 所对边长，并且 ${\sin ^2}A = \sin \left(\dfrac{\mathrm \pi }{3} + B\right)\sin \left(\dfrac{\mathrm \pi }{3} - B\right) + {\sin ^2}B.$ 问题1 求角 $ A $ 的值； 答案1 解析1 因为\[\begin{split}{\sin ^2}A& = \left(\dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos B + \dfrac{1}{2}\sin B\right)\left(\dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos B - \dfrac{1}{2}\sin B\right) + {\sin ^2}B\\& = \dfrac{3}{4}{\cos ^2}B - \dfrac{1}{4}{\sin ^2}B + {\sin ^2}B = \dfrac{3}{4},\end{split}\]所以\[\sin A = \pm \dfrac{\sqrt 3 }{2},\]又 $ A $ 为锐角，所以\[A = \dfrac{\mathrm \pi }{3}.\] 备注1 问题2 若 $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 12$，$a = 2\sqrt 7 $，求 $b,c$（其中 $b < c$）． 答案2 解析2 由 $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 12$，可得\[cb\cos A = 12. \quad \cdots \cdots ① \]由（1）知 $A = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$，所以\[cb = 24, \quad \cdots \cdots ② \]由余弦定理知\[{a^2} = {c^2} + {b^2} - 2cb\cos A,\]将 $a = 2\sqrt 7 $ 及 $ ② $ 代入，得\[{c^2} + {b^2} = 52, \quad \cdots \cdots ③ \]$ ③ + ② \times 2 $，得\[{\left(c + b\right)^2} = 100,\]即\[c + b = 10.\]因此，$ c $，$ b $ 是一元二次方程 ${t^2} - 10t + 24 = 0$ 的两个根．<br/>解此方程并由 $c > b$ 知\[c = 6,b = 4.\] 备注2