题目 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 $ n $ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $ n $ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．<br/>现设 $ n=4 $，分别以 ${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$，${a_4}$ 表示第一次排序时被排为 $ 1$，$2$，$3$，$4 $ 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 $X = |1 - {a_1}| + |2 - {a_2}| + |3 - {a_3}| + |4 - {a_4}|$，则 $ X $ 是对两次排序的偏离程度的一种描述． 问题1 写出 $ X $ 的可能值集合； 答案1 $ X $ 的可能值集合为 $ \left\{0,2,4,6,8\right\} $． 解析1 $ X $ 的可能值集合为 $ \left\{0,2,4,6,8\right\} $．<br/>在 $ 1$，$2$，$3$，$4 $ 中奇数与偶数各有两个，所以 ${a_2}$，${a_4}$ 中的奇数个数等于 ${a_1}$，${a_3}$ 中的偶数个数，<br/>因此 $|1 - {a_1}| + |3 - {a_3}|$ 与 $|2 - {a_2}| + |4 - {a_4}|$ 的奇偶性相同，<br/>从而 $X = \left(|1 - {a_1}| + |3 - {a_3}|\right) + \left(|2 - {a_2}| + |4 - {a_4}|\right)$ 必为偶数．<br/>$ X $ 的值非负，且易知其值不大于 $ 8 $．<br/>容易举出使得 $ X $ 的值等于 $ 0$，$2$，$4$，$6$，$8 $ 各值的排列的例子． 备注1 问题2 假设 ${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$，${a_4}$ 等可能地为 $ 1$，$2$，$3$，$4 $ 的各种排列，求 $ X $ 的分布列； 答案2 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X&0&2&4&6&8\\ \hline<br/>P&\dfrac1{24}&\dfrac3{24}&\dfrac7{24}&\dfrac9{24}&\dfrac4{24}\\ \hline<br/>\end{array} \] 解析2 可用列表或树状图列出 $ 1$，$2$，$3$，$4 $ 的一共 $ 24 $ 种排列，计算每种排列下的 $ X $ 值，在等可能的假定下，得到\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>X&0&2&4&6&8\\ \hline<br/>P&\dfrac1{24}&\dfrac3{24}&\dfrac7{24}&\dfrac9{24}&\dfrac4{24}\\ \hline<br/>\end{array} \] 备注2 问题3 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X \leqslant 2$，<br/>（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；<br/>（ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 答案3 （i）$ p = \dfrac{1}{216} $；<br/>（ii）该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．理由略． 解析3 （i）首先\[ \begin{split}P\left(X \leqslant 2\right) &= P\left(X = 0\right) + P\left(X = 2\right) = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6},\end{split} \]将三轮测试都有 $X \leqslant 2$ 的概率记做 $ p $，由上述结果和独立性假设，得\[p = \dfrac{1}{6^3} = \dfrac{1}{216}.\]（ii）由于 $p = \dfrac{1}{216} < \dfrac{5}{1000}$ 是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 $X \leqslant 2$ 的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测． 备注3