已知函数 $f\left(x\right) = A\sin \left(3x + \varphi \right)\left(A > 0,x \in \left( - \infty , + \infty \right),0 < \varphi < {\mathrm{\pi }}\right)$ 在 $x = \dfrac{\pi }{{12}}$ 时取得最大值 $ 4 $．
【难度】
【出处】
2010年高考广东卷（理）
【标注】
-
求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期；标注答案解析因为 $f\left(x\right) = A\sin \left(3x + \varphi \right)$，所以 $T = \dfrac{{2{\mathrm{\pi }}}}{3}$．
-
求 $f\left(x\right)$ 的解析式；标注答案解析由题意得\[ 4\sin \left(3 \times \dfrac{ {\mathrm{ \pi }} }{{12}} + \varphi \right) = 4,\]则有\[\sin \left(3 \times \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{{12}} + \varphi \right) = 1,\]即\[\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4} + \varphi = \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2},\]解得\[\varphi = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4},\]故 $ f(x)$ 的解析式为\[f\left(x\right) = 4\sin \left(3x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right).\]
-
若 $f\left(\dfrac{2}{3}\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{{12}}\right) = \dfrac{{12}}{5}$，求 $\sin \alpha $．标注答案解析由题意得\[4\sin \left[3\left(\dfrac{2}{3}\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{{12}}\right) + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right] = \dfrac{{12}}{5},\]即\[\sin \left(2\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right) = \dfrac{3}{5},\]从而\[\cos 2\alpha =1 - 2{\sin ^2}\alpha= \dfrac{3}{5},\]解得\[\sin \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
