设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点，现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的一种折线距离 $\rho \left(A,B\right)$ 为 $\rho \left(A,B\right) = |{x_2} - {x_1}| + |{y_2} - {y_1}|$．对于平面 $xOy$ 上给定的不同的两点 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，
【难度】
【出处】
2010年高考广东卷（理）
【标注】
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若点 $C\left(x,y\right)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $\rho \left(A,C\right) + \rho \left(C,B\right) \geqslant \rho \left(A,B\right)$；标注答案解析由绝对值不等式知\[\begin{split}\rho \left(A,C\right) + \rho \left(C,B\right) &= |x - {x_1}| + |{x_2} - x| + |y - {y_1}| + |{y_2} - y| \\&\geqslant |\left(x - {x_1}\right) + \left({x_2} - x\right)| + |\left(y - {y_1}\right) + \left({y_2} - y\right)| \\&=|{x_2} - {x_1}| + |{y_2} - {y_1}| \\&=\rho \left(A,B\right) ,\end{split}\]当且仅当 $\left(x - {x_1}\right) \cdot \left({x_2} - x\right) \geqslant 0$ 且 $\left(y - {y_1}\right) \cdot \left({y_2} - y\right) \geqslant 0$ 时等号成立．
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在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C\left(x,y\right)$，同时满足
① $\rho \left(A,C\right) + \rho \left(C,B\right) = \rho \left(A,B\right)$；② $\rho \left(A,C\right) = \rho \left(C,B\right)$．
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．标注答案解析由 $\rho \left(A,C\right) + \rho \left(C,B\right) = \rho \left(A,B\right)$，得\[\left(x - {x_1}\right) \cdot \left({x_2} - x\right) \geqslant 0,且 \left(y - {y_1}\right) \cdot \left({y_2} - y\right) \geqslant 0, \quad \cdots \cdots ① \]由 $\rho \left(A,C\right) = \rho \left(C,B\right)$，得\[|x - {x_1}| + |y - {y_1}| = |{x_2} - x| + |{y_2} - y|, \quad \cdots \cdots ② \]因为 $A\left({x_1},{y_1}\right),B\left({x_2},{y_2}\right)$ 是不同的两点，则：
1）若 ${x_1} = {x_2}$ 且 ${y_1} \ne {y_2}$，不妨设 ${y_1} < {y_2}$，
由 $ ① $ 得 $x = {x_1} = {x_2}$ 且 ${y_1} \leqslant y \leqslant {y_2}$，
由 $ ② $ 得 $y = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}$，
此时，点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点，即只有点 $C\left(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\right)$ 满足条件；
2）若 ${x_1} \ne {x_2}$ 且 ${y_1} = {y_2}$，同理可得：只有 $AB$ 的中点 $C\left(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\right)$ 满足条件；
3）若 ${x_1} \ne {x_2}$ 且 ${y_1} \ne {y_2}$，不妨设 ${x_1} < {x_2}$ 且 ${y_1} < {y_2}$，
由 $ ① $ 得 ${x_1} \leqslant x \leqslant {x_2}$ 且 ${y_1} \leqslant y \leqslant {y_2}$，
由 $ ② $ 得 $x + y = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}$，
此时，所有符合条件的点 $C$ 的轨迹是一条线段，即：过 $AB$ 的中点 $\left(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\right)$，
斜率为 $ - 1$ 的直线 $x + y = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}$ 夹在矩形 $A{A_1}B{B_1}$ 之间的部分，
其中 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，${A_1}\left({x_2},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，${B_1}\left({x_1},{y_2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
