已知中心在坐标原点 $ O $ 的椭圆 $ C $ 经过点 $ A\left(2,3\right) $，且点 $ F\left(2,0\right) $ 为其右焦点．
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（理）
【标注】
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求椭圆 $ C $ 的方程；标注答案解析依题意，可设椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \left(a >b > 0\right) $，且可知左焦点为 $ F'\left(-2,0\right) $，从而有\[\begin{cases}
c = 2, \\
2a = |AF| + |AF'| = 3 + 5 = 8 ,\\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}c = 2, \\
a = 4, \\
\end{cases}\]又 $a^2 =b^2 +c^2$，所以\[b^2 = 12,\]故椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{12}} = 1$． -
是否存在平行于 $ OA $ 的直线 $l$，使得直线 $l$ 与椭圆 $ C $ 有公共点，且直线 $ OA $ 与 $l$ 的距离等于 $ 4 $？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．标注答案解析假设存在符合题意的直线 $l$，其方程为 $ y = \dfrac{ 3 }{ 2 } x + t $，由\[\begin{cases}
y = \dfrac{ 3 }{ 2 } x + t, \\
\dfrac{{{ x ^ 2 }}}{{ 16 }} + \dfrac{{{ y ^ 2 }}}{{ 12 }} = 1, \\
\end{cases}\]得\[3{ x ^ 2 } + 3tx + { t^2}- 12 = 0 ,\]因为直线 $l$ 与椭圆有公共点，所以有\[ \Delta = \left(3t\right)^2 - 4 \times 3\left(t^2 - 12\right) \geqslant 0,\]解得\[ - 4\sqrt 3 \leqslant t \leqslant 4\sqrt 3 ,\]另一方面，由直线 $ OA $ 与 $l$ 的距离 $ 4 $ 可得\[\dfrac{{|t|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{4} + 1} }} = 4 ,\]解得\[t = \pm 2\sqrt {13} ,\]由于\[ \pm 2\sqrt {13} \notin \left[ - 4\sqrt 3 ,4\sqrt 3 \right],\]所以符合题意的直线 $l$ 不存在．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
