本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 $ 2 $ 元（不足 $ 1 $ 小时的部分按 $ 1 $ 小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{1}{2}$；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是 $\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{4}$；两人租车时间都不会超过四小时．
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（理）
【标注】
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求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；标注答案解析所付费用相同即为 $0$，$2$，$4$ 元．
则付 $0$ 元的概率为\[{P_1} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8},\]付 $2$ 元的概率为\[{P_2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8},\]付 $4$ 元的概率为\[{P_3} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16},\]因此，所付费用相同的概率为\[P = {P_1} + {P_2} + {P_3} = \dfrac{5}{16}.\] -
设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $\xi $，求 $\xi $ 的分布列及数学期望 $E\xi $．标注答案解析设甲，乙两人所付的费用之和为 $\xi $，则 $\xi $ 可为 $0$，$2$，$4$，$6$，$8$，\[\begin{split} P\left(\xi = 0\right) & = \dfrac{1}{8} , \\
P\left(\xi = 2\right) & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{16} , \\
P\left(\xi = 4\right) & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{16} , \\
P\left(\xi = 6\right) & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16} , \\
P\left(\xi = 8\right) & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}. \\
\end{split} \]$\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
\xi & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline
P & \frac{1}{8} & \frac{5}{16} & \frac{5}{16} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \\ \hline
\end{array}\]因此 $\xi$ 的数学期望\[E\xi = \dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{9}{8} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
