设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $ n $ 项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt {S_n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式（用 $n$，$d$ 表示）；标注答案解析因为 $\left\{\sqrt {S_n}\right\}$ 是等差数列，所以\[2\sqrt{S_2} = \sqrt{S_1} +\sqrt{S_3} . \]又 $2a_2=a_1+a_3$，所以\[ 2\sqrt{a_1+a_2} =\sqrt{a_1} +\sqrt{3a_2}, \]平方得\[3a_1+a_2=2\sqrt{3a_1a_2} , \]即\[\left(\sqrt{a_2} - \sqrt{3a_1}\right)^2=0, \]所以 $a_2=3a_1$，所以\[d=\sqrt{S_2} -\sqrt {S_1} = 2\sqrt{a_1} -\sqrt{a_1} = \sqrt{a_1},\]即 $\sqrt{S_1} =d$，所以\[\sqrt{S_n} = \sqrt{S_1} +\left(n-1\right)d =nd ,\]所以\[S_n = n^2d^2.\]当 $ n \geqslant 2 $ 时，有\[ a_n =S_n-S_{n-1} =n^2d^2 -\left(n-1\right)^2d^2=\left(2n-1\right)d^2,\]且对 $ n=1 $ 成立，所以 $ a_n=\left(2n-1\right)d^2 $．
-
设 $c$ 为实数，对满足 $m+n=3k$ 且 $m \ne n$ 的任意正整数 $m$，$n$，$k$，不等式 $S_m +S_n > c S_k$ 都成立．求证：$c$ 的最大值为 $\dfrac 9 2 $．标注答案解析由 $S_m+S_n > cS_k$ 得 $m^2+n^2>ck^2$，即 $c < \dfrac {m^2+n^2} {k^2} $，因为 $m+n=3k$，所以\[\dfrac {m^2+n^2} {k^2} =\dfrac {9\left(m^2+n^2\right)} {\left(m+n\right)^2} =\dfrac {9\left(m^2+n^2\right)} {m^2+n^2+2mn} .\]因为\[ 2mn < m^2+n^2 \left(m\ne n\right),\]所以\[ \dfrac {m^2+n^2} {k^2} = \dfrac {9\left(m^2+n^2\right)} {m^2+n^2+2mn} > \dfrac 9 2 , \]所以 $c \leqslant \dfrac 9 2 $，所以 $c $ 的最大值为 $ \dfrac 9 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
