在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，$ A\left(0,0\right) $，$ B\left(-2,0\right) $，$ C\left(-2,1\right) $，设 $ k $ 为非零实数，矩阵 $M= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$ N=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，点 $ A $、$ B $、$ C $ 在矩阵 $ MN $ 对应的变换下得到点 $ A_{1} $、$ B_{1} $、$ C_{1} $，$ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 面积的 $ 2 $ 倍，求实数 $ k $ 的值．
【难度】
【出处】
2010年高考江苏卷
【标注】
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标注答案解析由题设得\[MN = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.\]由\[ \begin{pmatrix} 0 & k \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\]及\[ \begin{pmatrix} 0 & k \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & k \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ -2 \end{pmatrix} , \]可知\[ A_1\left(0,0\right) , B_1\left(0,-2\right) , C_1\left( k ,-2\right) .\]计算得 $ \triangle ABC $ 的面积是 $ 1 $，$ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 的面积是 $ {\left|{k}\right|} $．
由题设知 ${\left|{k}\right|} = 2 \times 1 =2 $，所以 $ k $ 的值为 $ -2 $ 或 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
