由 $ a,b $ 是非负实数，作差得\[\begin{split} a^3 +b^3 - \sqrt{ab}\left(a^2+b^2\right) &= a^2 \sqrt a \left(\sqrt a -\sqrt b\right) + b^2 \sqrt b \left(\sqrt b -\sqrt a \right) \\&= \left(\sqrt a - \sqrt b\right) \left[\left(\sqrt a\right)^5 - \left(\sqrt b\right)^5\right] .\end{split} \]当 $a \geqslant b$ 时，$ \sqrt a \geqslant \sqrt b $，从而\[ \left(\sqrt a\right)^5 \geqslant \left(\sqrt b\right)^5 ,\]得\[ \left(\sqrt a - \sqrt b\right) \left[\left(\sqrt a\right)^5 - \left(\sqrt b\right)^5\right] \geqslant 0 ;\]当 $a < b$ 时，$ \sqrt a < \sqrt b $，从而\[ \left(\sqrt a\right)^5 < \left(\sqrt b\right)^5 ,\]得\[ \left(\sqrt a - \sqrt b\right) \left[\left(\sqrt a\right)^5 - \left(\sqrt b\right)^5\right] > 0 .\]所以\[ a^3 +b^3 \geqslant \sqrt{ab}\left(a^2+b^2\right) .\]