已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$ \cos A $ 是有理数；标注答案解析由 $ AB$，$BC$，$AC $ 为有理数及余弦定理知 $ \cos A =\dfrac {AB^2+AC^2-BC^2} {2AB \cdot AC} $ 是有理数．
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求证：对任意正整数 $ n $，$ \cos n A $ 是有理数．标注答案解析用数学归纳法证明 $ \cos n A $ 和 $ \sin A \cdot \sin n A $ 都是有理数．
$ ① $ 当 $n=1 $ 时，由（1）知 $ \cos A $ 是有理数，从而有 $ \sin A \cdot \sin A = 1- {\cos^2} A $ 也是有理数．
$ ② $ 假设当 $n=k\left(k\geqslant 1\right) $ 时，$ \cos k A $ 和 $ \sin A \cdot \sin k A $ 都是有理数．
当 $n=k+1 $ 时，由\[ \begin{split}\cos \left(k+1\right)A& = \cos A \cdot \cos k A - \sin A \cdot \sin k A, \\ \sin A \cdot \sin \left(k+1\right) A &=\sin A \cdot \left(\sin A \cdot \cos kA + \cos A \cdot \sin kA\right) \\&= \left(\sin A \cdot \sin A\right) \cdot \cos kA +\left(\sin A \cdot \sin kA \right) \cdot \cos A,\end{split} \]由 ① 和归纳假设，知 $ \cos \left(k+1\right)A$ 与 $ \sin A \cdot \sin \left(k+1\right) A $ 都是有理数，即当 $ n=k+1$ 时，结论成立．
综合 $ ① $、$ ② $ 可知，对任意正整数 $n $，$ \cos n A $ 是有理数．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
