已知一条曲线 $ C $ 在 $ y $ 轴的右边，$ C $ 上每一点到点 $ F\left(1,0\right) $ 的距离减去它到 $ y $ 轴距离的差都是 $ 1 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求曲线 $ C $ 的方程；标注答案$ {y^2} = 4x\left(x > 0\right) $解析设 $ P\left(x,y\right) $ 是曲线 $ C $ 上任意一点，那么点 $ P\left(x,y\right) $ 满足\[\sqrt {{{\left(x - 1\right)}^2} + {y^2}} - x = 1\left(x > 0\right),\]化简得\[{y^2} = 4x\left(x > 0\right).\]
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是否存在正数 $ m $，对于过点 $ M\left(m,0\right) $ 且与曲线 $ C $ 有两个交点 $ A $、$ B $ 的任一直线，都有 $\overrightarrow {FA}\cdot\overrightarrow {FB} <0$？若存在，求出 $ m $ 的取值范围；若不存在，请说明理由．标注答案存在正数 $ m $，对于过点 $ M\left(m,0\right) $ 且与曲线 $ C $ 有两个交点 $ A $、$ B $ 的任一直线，都有 $\overrightarrow {FA} \cdot\overrightarrow {FB} < 0$，且 $ m $ 的取值范围是 $\left(3 - 2\sqrt 2 ,3 + 2\sqrt 2 \right)$．解析设过点 $ M\left(m,0\right)\left(m>0\right) $ 的直线 $ l $ 与曲线 $ C $ 的交点为 $A\left({x_1},{y_2}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$．
设 $ l $ 的方程为 $ x=ty+m $，由\[{ \begin{cases}
x = ty + m ,\\
{y^2} = 4x, \\
\end{cases} }\]得\[{y^2} - 4ty - 4m = 0,\]一方面\[\Delta =16\left( {t^2} +m\right)>0,\]另一方面\[{ \begin{cases}{y_1} + {y_2} = 4t ,\\
{y_1}{y_2} = - 4m. \\
\end{cases} } \quad \cdots \cdots ① \]由 $\overrightarrow {FA} \cdot\overrightarrow {FB} < 0$ 得\[ \left({x_1} - 1\right)\left({x_2} - 1\right) + {y_1}{y_2}<0,\]整理得\[{x_1}{x_2} - \left({x_1} + {x_2}\right) +1+ {y_1}{y_2} <0, \quad \cdots \cdots ② \]又 $x = \dfrac{y^2}{4}$，于是不等式 $ ② $ 等价于\[\dfrac{y_1^2}{4}\cdot\dfrac{y_2^2}{4} + {y_1}{y_2} - \left(\dfrac{y_1^2}{4} + \dfrac{y_2^2}{4}\right) + 1 < 0,\]变形得\[ \dfrac{{{{\left({y_1}{y_2}\right)}^2}}}{16} + {y_1}{y_2} - \dfrac{1}{4}\left[ {{{\left({y_1} + {y_2}\right)}^2} - 2{y_1}{y_2}} \right] + 1 < 0, \quad \cdots \cdots ③ \]由 $ ① $ 式，不等式 $ ③ $ 等价于\[{m^2} - 6m + 1 < 4{t^2} ,\quad \cdots \cdots ④ \]而对任意实数 $ t $，$4{t^2}$ 的最小值为 $ 0 $，所以不等式 $ ④ $ 对于任意的 $ t $ 成立等价于\[{m^2} - 6m + 1 < 0,\]解得\[3 - 2\sqrt 2 < m < 3 + 2\sqrt 2 .\]由此可知，存在正数 $ m $，对于过点 $ M\left(m,0\right) $ 且与曲线 $ C $ 有两个交点 $ A $、$ B $ 的任一直线，都有 $\overrightarrow {FA} \cdot\overrightarrow {FB} < 0$，且 $ m $ 的取值范围是 $\left(3 - 2\sqrt 2 ,3 + 2\sqrt 2 \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
