由题意可知\[1 - a_{n + 1}^2 = \dfrac{2}{3}\left(1 - a_n^2\right),\]令 ${c_n} = 1 - a_n^2$，则\[{c_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{c_n},\]又 ${c_1} = 1 - a_1^2 = \dfrac{3}{4}$，则数列 $\left\{ {\left. {c_n} \right\}} \right.$ 是首项为 ${c_1} = \dfrac{3}{4}$，公比为 $\dfrac{2}{3}$ 的等比数列，即\[{c_n} = \dfrac{3}{4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}},\]故\[1 - a_n^2 = \dfrac{3}{4}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n - 1}} \Rightarrow a_n^2 = 1 - \dfrac{3}{4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}},\]又 ${a_1} = \dfrac{1}{2} > 0$，${a_{_n}}{a_{n + 1}} < 0$，故\[{a_n} = {\left( - 1\right)^{n - 1}}\sqrt {1 - \dfrac{3}{4}{{\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{n - 1}}} .\]\[b_n=a_{n+1}^2-a_n^2=\left[1-\dfrac 3 4 \cdot {\left(\dfrac 2 3 \right)}^n\right]-\left[1-\dfrac 3 4 \cdot {\left(\dfrac 2 3 \right)}^{n-1}\right]=\dfrac 1 4 \cdot {\left(\dfrac 2 3 \right)}^{n-1}.\]

假设数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 存在三项 ${b_r}$，${b_s}$，${b_t}$ $\left(r < s < t\right)$ 按某种顺序成等差数列，
由于数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 是首项为 $\dfrac{1}{4}$，公比为 $\dfrac{2}{3}$ 的等比数列，
于是有 ${b_r} > {b_s} > {b_t}$，则只有可能有 $2{b_s} = {b_r} + {b_t}$ 成立．所以\[2 \cdot \dfrac{1}{4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{s - 1}} = \dfrac{1}{4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{r - 1}} + \dfrac{1}{4}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{t - 1}} \quad \cdots \cdots ① \]两边同乘 $4\times 3^{t -1}2^{1-r }$，化简得\[ 3^{t-r}+2^{t-r}=2\times2^{s-r}3^{t-s} \quad \cdots \cdots ② \]由于 $r < s < t$，所以 $ ② $ 式左边为奇数，右边为偶数，故 $ ① $ 式不可能成立，导致矛盾．
故数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 中任意三项不可能成等差数列．