由 $|{A_1}{B_1}| = \sqrt 7 $，知\[{a^2} + {b^2} = 7, \quad \cdots \cdots ① \]由 ${S_{平行四边形{A_1}{B_1}{A_2}{B_2}}} = 2{S_{平行四边形{B_1}{F_1}{B_2}{F_2}}}$，知\[ a=2c, \quad \cdots \cdots ② \]又\[{b^2} = {a^2} - {c^2}, \quad \cdots \cdots ③ \]由 $ ①②③ $ 解得 ${a^2} = 4,{b^2} = 3$，故椭圆 $ C $ 的方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.\]

设 $ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $\left({x_1},{y_1}\right),\left({x_2},{y_2}\right)$，
假设使 $\overrightarrow {AP} \cdot\overrightarrow {PB} = 1$ 成立的直线 $l$ 存在，
（ⅰ）当 $l$ 不垂直于 $ x $ 轴时，设 $l$ 的方程为 $y = kx + m$，
由 $l$ 与 $n$ 垂直相交于 $ P $ 点且 $ \left|\overrightarrow {OP} \right|=1$，得\[\dfrac{{|m|}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} = 1\]即\[{m^2} = {k^2} + 1.\]因为 $\overrightarrow {AP} \cdot\overrightarrow {PB} = 1$，$ \left|\overrightarrow {OP} \right |=1$，所以\[\begin{split}\overrightarrow {OA} \cdot\overrightarrow {OB} &= \left(\overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PA} \right)\cdot\left(\overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PB} \right)\\&= {\overrightarrow {OP} ^2} + \overrightarrow {OP} \cdot\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PA} \cdot\overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PA} \cdot\overrightarrow {PB}\\& = 1+0+0-1=0\end{split}\]即\[{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\]将 $y = kx + m$ 代入椭圆方程，得\[\left(3 + 4{k^2}\right){x^2} + 8kmx + \left(4{m^2} - 12\right) = 0\]由求根公式可得\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 8km}}{{3 + 4{k^2}}}, \quad \cdots \cdots ④ \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{{4{m^2} - 12}}{{3 + 4{k^2}}}, \quad \cdots \cdots ⑤ \]且\[\begin{split}0 &= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\& = {x_1}{x_2} + \left(k{x_1} + m\right)\left(k{x_2} + m\right)\\&={x_1}{x_2} + {k^2}{x_1}{x_2} + km\left({x_1} + {x_2}\right) + {m^2}\\&=\left(1 + {k^2}\right){x_1}{x_2} + km\left({x_1} + {x_2}\right) + {m^2}\end{split}\]将 $ ④⑤ $ 代入上式并化简得\[\left(1 + {k^2}\right)\left(4{m^2} - 12\right) - 8{k^2}{m^2} + {m^2}\left(3 + 4{k^2}\right) = 0\quad \cdots \cdots ⑥ \]将 ${m^2} = 1 + {k^2}$ 代入 $ ⑥ $ 并化简得 $ - 5\left({k^2} + 1\right) = 0$，矛盾．即此时直线 $l$ 不存在．
（ⅱ）当 $l$ 垂直于 $ x $ 轴时，满足 $|\overrightarrow {OP} | = 1$ 的直线 $l$ 的方程为 $ x=1 $ 或 $ x=-1 $，
当 $ x=1 $ 时，$ A $，$ B $，$ P $ 的坐标分别为 $\left(1,\dfrac{3}{2}\right),\left(1, - \dfrac{3}{2}\right),\left(1,0\right)$，
所以 $\overrightarrow {AP} = \left(0, - \dfrac{3}{2}\right),\overrightarrow {PB} = \left(0, - \dfrac{3}{2}\right)$，
所以 $\overrightarrow {AP} \cdot\overrightarrow {PB} = \dfrac{9}{4} \ne 1$．
当 $ x=-1 $ 时，同理可得 $\overrightarrow {AP} \cdot\overrightarrow {PB} \ne 1$，矛盾．即此时直线 $l$ 也不存在．
综上可知，使 $\overrightarrow {AP} \cdot\overrightarrow {PB} = 1$ 成立的直线 $l$ 不存在．