题目 已知函数 $f\left(x\right) = \sqrt x$，$g\left(x\right) = a\ln x$，$a \in {\bf{R}}$． 问题1 若曲线 $y = f\left(x\right)$ 与曲线 $y = g\left(x\right)$ 相交，且在交点处有共同的切线，求 $ a $ 的值和该切线方程； 答案1 解析1 由题意得\[f'\left(x\right) = \dfrac{1}{{2\sqrt x }},g'\left(x\right) = \dfrac{a}{x}\left(x > 0\right) ,\]由已知得\[\begin{cases}<br/>\sqrt x = a\ln x, \\<br/>\dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{a}{x}, \\<br/>\end{cases}\]解得\[a = \dfrac{{\mathrm{e}}}{2},x = {{\mathrm{e}}^2} ,\]所以两条直线交点的坐标为 $\left({{\mathrm{e}}^2},{\mathrm{e}}\right)$，切线的斜率为 $k = f'\left({{\mathrm{e}}^2}\right) = \dfrac{1}{{2{\mathrm{e}}}}$，<br/>所以切线的方程为 $y - {\mathrm{e}} = \dfrac{1}{{2{\mathrm{e}}}}\left(x - {{\mathrm{e}}^2}\right)$． 备注1 问题2 设函数 $h\left(x\right) = f\left(x\right) - g\left(x\right)$，当 $h\left(x\right)$ 存在最小值时，求其最小值 $\varphi \left(a\right)$ 的解析式； 答案2 解析2 由条件知\[h\left(x\right) = \sqrt x - a\ln x\left(x > 0\right),\]所以\[h'\left(x\right) = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{a}{x} = \dfrac{{\sqrt x - 2a}}{{2x}}.\]（i）当 $ a>0 $ 时，令 $h'\left(x\right) = 0$，解得 $x = 4{a^2}$，<br/>所以当 $0 < x < 4{a^2}$ 时，$h'\left(x\right) < 0$，$h\left(x\right)$ 在 $\left(0,4{a^2}\right)$ 上递减；<br/>当 $x > 4{a^2}$ 时，$h'\left(x\right) > 0$，$h\left(x\right)$ 在 $\left(4{a^2}, + \infty \right)$ 上递增．<br/>所以 $x = 4{a^2}$ 是 $h\left(x\right)$ 在 $\left(0, + \infty \right)$ 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 $h\left(x\right)$ 的最小值点．<br/>所以最小值\[ \varphi \left(a\right) = h\left(4{a^2}\right) = 2a - a\ln 4{a^2} = 2a\left(1 - \ln 2a\right);\]（ii）当 $a \leqslant 0$ 时，$h'\left(x\right) = \dfrac{{\sqrt x - 2a}}{{2x}} > 0$，$h\left(x\right)$ 在 $\left(0, + \infty \right)$ 上递增，无最小值，<br/>故 $h\left(x\right)$ 的最小值 $\varphi \left(a\right)$ 的解析式为 $\varphi \left(a\right) = 2a\left(1 - \ln 2a\right)\left(a > 0\right)$． 备注2 问题3 对（2）中的 $\varphi \left(a\right)$ 和任意的 $a > 0,b > 0$，证明：$\varphi '\left(\dfrac{{a + b}}{2}\right) \leqslant \dfrac{{\varphi '\left(a\right) + \varphi '\left(b\right)}}{2} \leqslant \varphi '\left(\dfrac{{2ab}}{{a + b}}\right)$． 答案3 解析3 由（2）知\[\varphi '\left(a\right) = - 2\ln 2a .\]对任意的 $a > 0,b > 0$，有\[\dfrac{{\varphi '\left(a\right) + \varphi '\left(b\right)}}{2} = - \dfrac{{2\ln 2a + 2\ln 2b}}{2} = - \ln 4ab, \quad \cdots \cdots ① \\ \varphi '\left(\dfrac{{a + b}}{2}\right) = - 2\ln \left(2 \cdot \dfrac{{a + b}}{2}\right) = - \ln {\left(a + b\right)^2} \leqslant - \ln 4ab, \quad \cdots \cdots ② \\ \varphi '\left(\dfrac{{2ab}}{{a + b}}\right) = - 2\ln \left(2\cdot \dfrac{{2ab}}{{a + b}}\right) \geqslant - 2\ln \dfrac{{4ab}}{{2\sqrt {ab} }} = - \ln 4ab , \quad \cdots \cdots ③ \]故由 $ ①②③ $ 得\[\varphi '\left(\dfrac{{a + b}}{2}\right) \leqslant \dfrac{{\varphi '\left(a\right) + \varphi '\left(b\right)}}{2} \leqslant \varphi '\left(\dfrac{{2ab}}{{a + b}}\right) .\] 备注3