已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x\sin \varphi + {\cos ^2}x\cos \varphi - \dfrac{1}{2}\sin \left(\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2} + \varphi \right)\left(0 < \varphi < {\mathrm{\pi }}\right)$,其图象过点 $\left(\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6},\dfrac{1}{2}\right)$.
【难度】
【出处】
2010年高考山东卷(理)
【标注】
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求 $\varphi $ 的值;标注答案解析因为\[f\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x\sin \varphi + {\cos ^2}x\cos \varphi - \dfrac{1}{2}\sin \left(\dfrac{\pi }{2} + \varphi \right)\left(0 < \varphi < {\mathrm{\pi }}\right),\]所以\[\begin{split}f\left(x\right) &= \dfrac{1}{2}\sin 2x\sin \varphi + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\cos \varphi - \dfrac{1}{2}\cos \varphi \\& = \dfrac{1}{2}\sin 2x\sin \varphi + \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos \varphi \\& = \dfrac{1}{2}\left(\sin 2x\sin \varphi + \cos 2x\cos \varphi \right)\\& = \dfrac{1}{2}\cos \left(2x - \varphi \right).\end{split}\]又函数图象过点 $\left(\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{6},\dfrac{1}{2}\right)$,所以\[\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\cos \left(2 \times \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6} - \varphi \right),\]即\[\cos \left(\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3} - \varphi \right) = 1,\]又 $0 < \varphi < {\mathrm{\pi}} $,所以 $\varphi = \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}$.
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将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$,纵坐标不变,得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象,求函数 $g\left(x\right)$ 在 $\left[0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.标注答案解析由(1)知\[f\left(x\right) = \dfrac{1}{2}\cos \left(2x - \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}\right),\]将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$,纵坐标不变,得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象,可知\[g\left(x\right) = f\left(2x\right) = \dfrac{1}{2}\cos \left(4x - \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3}\right),\]因为 $x \in \left[0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right]$,所以 $4x \in \left[0,{\mathrm{\pi}} \right]$,因此\[4x - \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3} \in \left[ - \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{3},\dfrac{{2{\mathrm{\pi}} }}{3}\right],\]故\[ - \dfrac{1}{2} \leqslant \cos \left(4x - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}\right) \leqslant 1,\]所以\[ - \dfrac{1}{4} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac 12,\]所以 $y = g\left(x\right)$ 在 $\left[0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right]$ 上的最大值和最小值分别为 $\dfrac{1}{2}$ 和 $ - \dfrac{1}{4}$.
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2