设椭圆的半焦距为 $c$，由题意知\[\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},2a + 2c = 4\left(\sqrt 2 + 1\right),\]所以\[a = 2\sqrt 2 ,c = 2,\]又 ${a^2} = {b^2} + {c^2}$，因此 $b = 2$，故椭圆的标准方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1,\]由题意设等轴双曲线的标准方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{m^2}}} = 1\left(m > 0\right),\]因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以\[m = 2,\]因此双曲线的标准方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\]

设 $A\left({x_1},{y_1}\right),B\left({x_2},{y_2}\right),P\left({x_0},{y_0}\right)$，则\[{k_1} = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0} + 2}},{k_2} = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0} - 2}},\]因为点 $ P $ 在双曲线 ${x^2} - {y^2} = 4$ 上，所以\[x_0^2 - y_0^2 = 4.\]因此\[\begin{split}{k_1}{k_2} &= \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0} + 2}} \cdot \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0} - 2}}\\& = \dfrac{{{y_0}}}{{x_0^2 - 4}} = 1,\end{split}\]即\[{k_1}{k_2} = 1.\]

由于 $ PF_{1} $ 的方程为 $y = {k_1}\left(x + 2\right)$，将其代入椭圆方程得\[\left(2k_1^2 + 1\right){x^2} - 8k_1^2x + 8k_1^2 - 8 = 0,\]由违达定理得\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{8k_1^2}}{{2k_1^2 + 1}},{x_1}{x_2} = \dfrac{{8k_1^2 - 8}}{{2k_1^2 + 1}},\]所以\[\begin{split}|AB| &= \sqrt {1 + k_1^2} \sqrt {{{\left({x_1} + {x_2}\right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\& = \sqrt {1 + k_1^2} \sqrt {\left(\dfrac{{8k_1^2}}{{2k_1^2 - 1}}\right) - 4 \times \dfrac{{8k_1^2 - 8}}{{2k_1^2 + 1}}} \\&= 4\sqrt 2 \dfrac{{k_1^2 + 1}}{{2k_1^2 + 1}},\end{split}\]同理可得\[|CD| = 4\sqrt 2 \dfrac{{k_2^2 + 1}}{{2k_2^2 + 1}}.\]则\[\dfrac{1}{{|AB|}} + \dfrac{1}{{|CD|}} = \dfrac{1}{{4\sqrt 2 }}\left(\dfrac{{2k_1^2 + 1}}{{k_1^2 + 1}} + \dfrac{{2k_2^2 + 1}}{{k_2^2 + 1}}\right),\]又 ${k_1}{k_2} = 1$，所以\[\begin{split}\dfrac{1}{{|AB|}} + \dfrac{1}{{|CD|}} &= \dfrac{1}{{4\sqrt 2 }}\left(\dfrac{{2k_1^2 + 1}}{{k_1^2 + 1}} + \dfrac{{\dfrac{2}{{k_1^2}} + 1}}{{\dfrac{1}{{k_1^2}} + 1}}\right) \\&= \dfrac{{\sqrt 2 }}{8}\left(\dfrac{{2k_1^2 + 1}}{{k_1^2 + 1}} + \dfrac{{k_1^2 + 2}}{{k_1^2 + 1}}\right) \\&= \dfrac{{3\sqrt 2 }}{8},\end{split}\]故\[|AB| + |CD| = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{8}|AB| \cdot |CD|,\]因此，存在 $\lambda = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{8}$，使 $|AB| + |CD| = \lambda |AB| \cdot |CD|$ 恒成立．