在 $ \triangle ABC $ 中，$ a$，$ b$，$ c $ 分别为内角 $ A$，$ B$，$ C $ 的对边，且 $2a\sin A = \left(2b + c\right)\sin B + \left(2c + b\right)\sin C$．
【难度】
【出处】
2010年高考辽宁卷（理）
【标注】
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求 $ A $ 的大小；标注答案解析由已知及正弦定理得\[2{a^2} = \left(2b + c\right)b + \left(2c + b\right)c,\]即\[{a^2} = {b^2} + {c^2} + bc.\]由余弦定理得\[\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} = \frac{ - bc}{2bc} = - \frac{1}{2},\]由 $0^\circ<A<180^\circ$ 得\[A=120^\circ .\]故 $ A$ 的大小为 $ 120^\circ $．
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求 $\sin B + \sin C$ 的最大值．标注答案解析由（1）得\[\begin{split} \sin B + \sin C & = \sin B + \sin \left(60^\circ - B\right) \\ &
= \dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos B + \dfrac{1}{2}\sin B \\&
= \sin \left(60^\circ + B\right). \end{split} \]由（1）得 $0^\circ < B < 60^\circ $，即\[60^\circ < B + 60^\circ < 120^\circ, \]所以当 $B + 60^\circ = 90^\circ $，即 $ B=30^\circ $ 时，$ \sin B+\sin C $ 取得最大值 $ 1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
