设 $A\left({x_1},{y_1}\right),B\left({x_2},{y_2}\right)$，由题意知 ${y_1}<0$，${y_2}>0$．
直线 $ l $ 的方程为 $y = \sqrt 3 \left(x - c\right)$，其中 $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} $．
联立\[{\begin{cases}
y = \sqrt 3 \left(x - c\right), \\
\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1, \\
\end{cases}}\]得\[\left(3{a^2} + {b^2}\right){y^2} + 2\sqrt 3 {b^2}cy - 3{b^4} = 0,\]解得\[{y_1} = \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(c + 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}},{y_2} = \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(c - 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}}.\]因为 $\overrightarrow {AF} = 2\overrightarrow {FB} $，所以 $ - {y_1} = 2{y_2}$．
即\[\dfrac{{\sqrt 3 {b^2}\left(c + 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}} = 2 \cdot \dfrac{{ - \sqrt 3 {b^2}\left(c - 2a\right)}}{{3{a^2} + {b^2}}}.\]得离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$．

因为\[\left| {AB} \right| = \sqrt {1 + \dfrac{1}{3}} \left| {{y_2} - {y_1}} \right| ,\]所以\[\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \dfrac{{4\sqrt 3 a{b^2}}}{{3{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{15}}{4} .\]由 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$ 得 $b = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}a$．所以 $\dfrac{5}{4}a = \dfrac{{15}}{4}$，得 $ a=3 $，$b = \sqrt 5 $．
椭圆 $ C $ 的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$．