已知函数 $f\left(x\right) = \left(a + 1\right)\ln x + a{x^2} + 1$．
【难度】
【出处】
2010年高考辽宁卷（理）
【标注】
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讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性；标注答案略．解析$f\left(x\right)$ 的定义域为 $ \left(0,+\infty \right) $．$f'\left(x\right) = \dfrac{a + 1}{x} + 2ax = \dfrac{{2a{x^2} + a + 1}}{x}$．
当 $a \geqslant 0$ 时，$f'\left(x\right)>0$，故 $f\left(x\right)$ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 单调增加；
当 $a \leqslant - 1$ 时，$f'\left(x\right)<0$，故 $f\left(x\right)$ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 单调减少；
当 $ -1< a <0 $ 时，令 $f'\left(x\right)=0$，解得 $x = \sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} $．
则当 $x \in \left(0,\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} \right)$ 时，$f'\left(x\right)>0$；
当 $x \in \left(\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} , + \infty \right)$ 时，$f'\left(x\right)<0$．
故 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} \right)$ 单调增加，在 $\left(\sqrt { - \dfrac{a + 1}{2a}} , + \infty \right)$ 单调减少． -
设 $a < - 1$，如果对任意 ${x_1},{x_2} \in \left(0, + \infty \right)$，$|f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)| \geqslant 4|{x_1} - {x_2}|$，求 $a$ 的取值范围．标注答案$ a $ 的取值范围为 $ \left(-\infty ,-2\right] $．解析不妨假设 ${x_1} \geqslant {x_2}$，而 $a<-1$，由（1）知 $f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 单调减少，从而\[\forall {x_1},{x_2} \in \left(0, + \infty \right) , \left| {f\left({x_1}\right) - f\left({x_2}\right)} \right| \geqslant 4\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\]等价于\[\forall {x_1},{x_2} \in \left(0, + \infty \right) , f\left({x_2}\right) + 4{x_2} \geqslant f\left({x_1}\right) + 4{x_1} .\quad \cdots \cdots ① \]令 $g\left(x\right) = f\left(x\right) + 4x$，则 $g'\left(x\right) = \dfrac{a + 1}{x} + 2ax + 4$．
$ ① $ 等价于 $g\left(x\right)$ 在 $ \left(0,+\infty \right) $ 单调减少，即\[\dfrac{a + 1}{x} + 2ax + 4 \leqslant 0 .\]从而\[a \leqslant \dfrac{ - 4x - 1}{{2{x^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left(2x - 1\right)}^2} - 4{x^2} - 2}}{{2{x^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left(2x - 1\right)}^2}}}{{2{x^2} + 1}} - 2.\]故 $ a $ 的取值范围为 $ \left(-\infty ,-2\right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
