证法一：
因为 $ a,b,c $ 均为正数，由均值不等式得\[\begin{split}a^2+b^2+c^2 & \geqslant 3{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}} ,\quad \cdots \cdots ① \\
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} & \geqslant 3\left(abc\right)^{ - \frac{1}{3}},\end{split}\]所以\[\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)^2 \geqslant 9{\left(abc\right)^{ - \frac{2}{3}}}, \quad \cdots \cdots ② \]根据不等式的性质得\[a^2+b^2+c^2+ {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)^2} \geqslant 3{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}}+ 9{\left(abc\right)^{ - \frac{2}{3}}}.\]又\[3{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}} + 9{\left(abc\right)^{ - \frac{2}{3}}} \geqslant 2\sqrt {27} = 6\sqrt 3 , \quad \cdots \cdots ③ \]所以原不等式成立．
当且仅当 $ a=b=c $ 时，$ ① $ 式和 $ ② $ 式等号成立．
当且仅当 $3{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}} = 9{\left(abc\right)^{ - \frac{2}{3}}}$ 时，$ ③ $ 式等号成立．
即当且仅当 $a=b=c= {3^{\frac{1}{4}}}$ 时，原式等号成立．
证法二：
因为 $ a,b,c $ 均为正数，由基本不等式\[\begin{split}
a^2+b^2 & \geqslant 2ab,\\
b^2+c^2 & \geqslant 2ab,\\
c^2+a^2 & \geqslant 2ac.\end{split}\]所以\[ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac . \quad \cdots \cdots ① \]同理\[\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} \geqslant \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ac}}, \quad \cdots \cdots ② \]故\[\begin{split}a^2+b^2+c^2+\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right)^2 & \geqslant ab+bc+ac+3 \dfrac{1}{{ab}} +3 \dfrac{1}{{bc}} +3 \dfrac{1}{{ac}} \\& \geqslant 6 \sqrt 3 . \quad \cdots \cdots ③ \end{split}\]所以原不等式成立．
当且仅当 $ a=b=c $ 时，$ ① $ 式和 $ ② $ 式等号成立，
当且仅当 $a=b=c$，$\left(ab\right)^2=\left(bc\right)^2=\left(ac\right)^2=3$ 时，$ ③ $ 式等号成立．
即当且仅当 $a=b=c= {3^{\frac{1}{4}}}$ 时，原式等号成立．