在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\dfrac{\cos A - 2\cos C}{\cos B} = \dfrac{2c - a}{b}$．
【难度】
【出处】
2011年高考山东卷（理）
【标注】
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求 $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ 的值；标注答案解析在 $\triangle ABC$ 中，由\[\frac{\cos A - 2\cos C}{\cos B} = \frac{2c - a}{b},\]及正弦定理可得\[\frac{\cos A - 2\cos C}{\cos B} = \frac{2\sin C - \sin A}{\sin B},\]即\[\cos A\sin B - 2\cos C\sin B = 2\sin C\cos B - \sin A\cos B,\]则\[\begin{split}\cos A\sin B + \sin A\cos B & = 2\sin C\cos B + 2\cos C\sin B,\\
\sin \left(A + B\right) & = 2\sin \left(C + B\right).\end{split}\]而 $A + B + C = {\mathrm \pi }$，则 $\sin C = 2\sin A$，即\[\frac{\sin C}{\sin A} = 2.\] -
若 $\cos B = \dfrac{1}{4}$，$b = 2$，求 $\triangle ABC$ 的面积 $S$．标注答案解析由 $\dfrac{\sin C}{\sin A} = 2$，得 $c = 2a$，由余弦定理\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B,\]及\[\cos B = \frac{1}{4},b = 2,\]可得\[4 = {a^2} + 4{a^2} - 4{a^2} \times \frac{1}{4} = 4{a^2},\]解得 $a = 1$，从而 $ c = 2 $，\[\begin{split} S& = \frac{1}{2}ac\sin B\\& = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} \\&= \frac{{\sqrt {15} }}{4},\end{split}\]即\[S = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
