题目

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等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$ 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 ${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列．\begin{array}{|c|c|c|c| } \hline
&第一列&第二列&第三列 \\ \hline
第一行& 3&2&10 \\ \hline
第二行&6&4&14\\ \hline
第三行&9&8&18\\ \hline
\end{array}

【难度】

【出处】

2011年高考山东卷（理）

【标注】

求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；
标注
答案

解析

由题意可知 ${a_1} = 2$，${a_2} = 6$，${a_3} = 18$，公比\[q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = 3,\]通项公式为 ${a_n} = 2 \cdot {3^{n - 1}}$．
若数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 满足：${b_n} = {a_n} + {\left( { - 1} \right)^n}\ln {a_n}$，求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$．
标注
答案

解析

$\begin{split}{b_n} &= {a_n} + {\left( { - 1} \right)^n}\ln {a_n} \\&= 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\ln \left(2 \cdot {3^{n - 1}}\right)\\& = 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\left[\ln 2 + \left(n - 1\right)\ln 3\right]\\
&= 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + {\left( - 1\right)^n}n\ln 3 ,\end{split} $
所以\[{S_n} = 2\left( {1 + 3 + \cdots + {3^{n - 1}}} \right) + \left[ { - 1 + 1 - 1 + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right]\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + \left[ { - 1 + 2 - 3 + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}n} \right]\ln 3.\]当 $n$ 为偶数时，\[\begin{split}{S_n} & = 2 \times \dfrac{{1 - {3^n}}}{1 - 3} + \dfrac{n}{2}\ln 3 \\& = {3^n} + \dfrac{n}{2}\ln 3 - 1;\end{split}\]当 $n$ 为奇数时，\[ \begin{split}{S_n} &= 2 \times \dfrac{{1 - {3^n}}}{1 - 3} - \left(\ln 2 - \ln 3\right) + \left( {\dfrac{n - 1}{2} - n} \right)\ln 3\\
&= {3^n} - \frac{n - 1}{2}\ln 3 - \ln 2 - 1,\end{split} \]故\[{S_n} = \begin{cases}{3^n} + \dfrac{n}{2}\ln 3 - 1, &n为偶数, \\
{3^n} - \dfrac{n - 1}{2}\ln 3 - \ln 2 - 1, &n为奇数.
\end{cases}\]

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2

$\begin{split}{b_n} &= {a_n} + {\left( { - 1} \right)^n}\ln {a_n} \\&= 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\ln \left(2 \cdot {3^{n - 1}}\right)\\& = 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\left[\ln 2 + \left(n - 1\right)\ln 3\right]\\ &= 2 \cdot {3^{n - 1}} + {\left( - 1\right)^n}\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + {\left( - 1\right)^n}n\ln 3 ,\end{split} $ 所以\[{S_n} = 2\left( {1 + 3 + \cdots + {3^{n - 1}}} \right) + \left[ { - 1 + 1 - 1 + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right]\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + \left[ { - 1 + 2 - 3 + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}n} \right]\ln 3.\]当 $n$ 为偶数时，\[\begin{split}{S_n} & = 2 \times \dfrac{{1 - {3^n}}}{1 - 3} + \dfrac{n}{2}\ln 3 \\& = {3^n} + \dfrac{n}{2}\ln 3 - 1;\end{split}\]当 $n$ 为奇数时，\[ \begin{split}{S_n} &= 2 \times \dfrac{{1 - {3^n}}}{1 - 3} - \left(\ln 2 - \ln 3\right) + \left( {\dfrac{n - 1}{2} - n} \right)\ln 3\\ &= {3^n} - \frac{n - 1}{2}\ln 3 - \ln 2 - 1,\end{split} \]故\[{S_n} = \begin{cases}{3^n} + \dfrac{n}{2}\ln 3 - 1, &n为偶数, \\ {3^n} - \dfrac{n - 1}{2}\ln 3 - \ln 2 - 1, &n为奇数. \end{cases}\]