设函数 $f\left(x\right) = \ln x + \ln \left(2 - x\right) + ax\left(a > 0\right)$．
【难度】
【出处】
2010年高考江西卷（理）
【标注】
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当 $a = 1$ 时，求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\sqrt 2 \right)$，单调递减区间为 $\left(\sqrt 2 ,2\right)$．解析函数 $ f\left(x\right)$ 的定义域为 $ \left(0,2\right)$，由 $ f(x)$ 的解析式得\[ f'\left(x\right)=\dfrac1x-\dfrac1{2-x}+a.\]当 $a = 1$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac{{ - {x^2} + 2}}{x\left(2 - x\right)},\]当 $ 0<x<\sqrt 2$ 时，$f'(x)>0 $；当 $ x>\sqrt 2$ 时，$f'(x)<0 $．
所以 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\sqrt 2 \right)$，单调递减区间为 $\left(\sqrt 2 ,2\right)$． -
若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right]$ 上的最大值为 $\dfrac{1}{2}$，求 $a$ 的值．标注答案$a = \dfrac{1}{2}$．解析当 $x \in \left(0,1\right]$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac{2 - 2x}{x\left(2 - x\right)} + a > 0,\]所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right]$ 上单调递增，故 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right]$ 上的最大值为\[f\left(1\right) = a,\]因此 $a = \dfrac{1}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
