已知抛物线 $ C : y ^2 =2 p x\left(p>0\right) $ 过点 $ A\left(1,-2\right) $．
【难度】
【出处】
2010年高考福建卷（文）
【标注】
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求抛物线 $ C $ 的方程，并求其准线方程；标注答案${y^2} = 4x$；$x = - 1$解析将 $ \left(1,-2\right) $ 代入 ${y^2} = 2px$，得 $p = 2$．
故所求的抛物线 $ C $ 的方程为 ${y^2} = 4x$，其准线方程为 $x = - 1$． -
是否存在平行于 $ OA $（$ O $ 为坐标原点）的直线 $ l $，使得直线 $ l $ 与抛物线 $ C $ 有公共点，且直线 $ OA $ 与 $ l $ 的距离等于 $\dfrac{\sqrt 5 }{5}$？若存在，求出直线 $ l $ 的方程；若不存在，说明理由．标注答案存在，其方程为 $ 2x+y-1 =0 $解析假设存在符合题意的直线 $ l $，其方程为 $ y=-2x + t $，由\[ \begin{cases}
{y = - 2x + t} ,\\
{{y^2} = 4x},
\end{cases} \]得\[y^2 +2 y -2 t=0.\]因为直线 $ l $ 与抛物线 $ C $ 有公共点，所以得 $ {\Delta} =4+8 t\geqslant 0 $，解得 $ t \geqslant -\dfrac 1 2 $．
另一方面，由直线 $ OA $ 与 $ l $ 的距离 $d=\dfrac{\sqrt 5 }{5}$，可得 $\dfrac{|t|}{\sqrt 5 } = \dfrac{1}{\sqrt 5 }$，解得 $ t=\pm 1 $．
因为 $-1\notin \left[-\dfrac{1}{2},+\infty \right)$，$1\in \left[-\dfrac{1}{2},+\infty \right)$，
所以符合题意的直线 $ l $ 存在，其方程为 $ 2x+y-1 =0 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
