已知 $\triangle ABC $ 的内角 $ A $，$ B $ 及其对边 $a$，$b$ 满足 $a + b = a\cot A + b\cot B$，求内角 $C$．
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国I卷（理）
【标注】
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标注答案解析由 $a + b = a\cot A + b\cot B$ 及正弦定理得\[ \sin A + \sin B = \cos A + \cos B , \]即\[\sin A - \cos A = \cos B - \sin B ,\]所以\[ \sin \left(A - \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{4}\right) = \sin \left(\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{4} - B\right). \]又 $0 < A + B < {\mathrm{\mathrm \pi}} $，则\[A - \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{4} = \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{4} - B ,\]解得\[ A + B = \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{2} ,\]所以 $C = \dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}} }{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
