题目 已知函数 $f\left(x\right) = 3a{x^4} - 2\left(3a + 1\right){x^2} + 4x$． 问题1 当 $a = \dfrac{1}{6}$ 时，求 $f\left(x\right)$ 的极值； 答案1 $f\left(x\right)$ 的极小值是 $f\left( - 2\right) = - 12$． 解析1 由题意知\[ f'\left( x \right) = 4\left( {x - 1} \right)\left( {3a{x^2} + 3ax - 1} \right),\]当 $a = \dfrac{1}{6}$ 时，可得\[ f'\left( x \right) = 2\left(x + 2\right){\left(x - 1\right)^2}, \]所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , - 2\right)$ 内单调递减，在 $\left( - { 2 }, + \infty \right)$ 内单调递增，<br/>从而当 $x = - 2$ 时，$f\left(x\right)$ 有极小值．<br/>故 $f\left(x\right)$ 的极小值是\[f\left( - 2\right) = - 12.\] 备注1 问题2 若 $f\left(x\right)$ 在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $a $ 的取值范围为 $ \left[-\dfrac 4 3 ,\dfrac 1 6 \right]$． 解析2 在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上，$f\left(x\right)$ 是增函数，当且仅当\[ f'\left( x \right) = 4\left( {x - 1} \right)\left( {3a{x^2} + 3ax - 1} \right) \geqslant 0,\]即\[ {3a{x^2} + 3ax - 1} \leqslant 0 . \quad \cdots \cdots ① \]1）当 $a=0 $ 时，$ ① $ 恒成立；<br/>2）当 $a>0 $ 时，若要 $ ① $ 成立，则需\[3a \cdot 1^2 +3a \cdot 1 -1 \leqslant 0 ,\]解得\[ a \leqslant \dfrac 1 6 ;\]3）当 $a < 0 $ 时，若要 $ ① $ 成立，则需\[3a \left(x+\dfrac 1 2 \right)^2\leqslant \dfrac {3a} 4 +1 ,\]恒成立，只须\[\dfrac {3a} 4 +1\geqslant 0,\]解得\[ a \geqslant -\dfrac 4 3. \]综上，$a $ 的取值范围为 $ \left[-\dfrac 4 3 ,\dfrac 1 6 \right]$． 备注2