题目 已知 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是公差不为零的等差数列，${a_1} = 1$ 且 ${a_1}$，${a_3}$，${a_9}$ 成等比数列． 问题1 求数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式； 答案1 解析1 由题设知公差 $ d\neq 0 $，由 ${a_1} = 1$，且 ${a_1}$，${a_3}$，${a_9}$ 成等比数列，得 $\dfrac{{1 + 2d}}1 = \dfrac{{1 + 8d}}{{1 + 2d}}$，<br/>解得\[ d=1,d=0\left(舍去\right), \]故 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项\[{a_n} = 1 + \left(n - 1\right) \times 1 = n.\] 备注1 问题2 求数列 $\left\{ {2^{a{}_n}}\right\} $ 的前 $ n $ 项和 ${S_n}$． 答案2 解析2 由（1）知 ${2^{a{}_n}} = {2^n}$，由等比数列前 $ n $ 项和公式，得\[{S_n} = 2 + {2^2} + {2^3} + \cdots+ {2^n} = \dfrac{{2\left(1 - {2^n}\right)}}{{1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 2.\] 备注2