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如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$AD \perp AB$，$\overrightarrow {BC} = \sqrt 3 \overrightarrow {BD} $，$\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 1$，则 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD}= $  \((\qquad)\)
A: $2\sqrt 3 $
B: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
C: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
D: $\sqrt 3 $
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    向量的换底公式
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
【答案】
D
【解析】
根据向量的换底公式，有\[\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\sqrt 3\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right),\]于是\[\overrightarrow{AC}=\sqrt 3\overrightarrow {AD}+\left(1-\sqrt 3\right)\overrightarrow{AB},\]因此\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}&=\sqrt 3\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow{AD}+\left(1-\sqrt 3\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\\
&=\sqrt 3\cdot AD^2\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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