因为函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left[ - 1, + \infty \right)$ 上单调性一致，
所以，$\forall x \in \left[ { - 1, + \infty } \right),$\[f'\left( x \right)g'\left( x \right) \geqslant 0 ,\]即 $\forall x \in \left[ - 1, + \infty \right),$\[\left( {3{x^2} + a} \right)\left( {2x + b} \right) \geqslant 0 ,\]$\because$ $a > 0 $，$\therefore$ $\forall x \in \left[ - 1, + \infty \right),$\[2x + b \geqslant 0 ,\]即 $\forall x \in \left[ - 1, + \infty \right),$\[b \geqslant - 2x ,\]所以\[b \geqslant 2.\]

令 $f'\left(x\right) = 0$，解得\[x = \pm \sqrt { - \dfrac{a}{3}} ,\]若 $b > 0$，由 $a < 0$ 得 $0 \in \left(a,b\right)$，又因为\[f'\left(0\right)g'\left(0\right) = ab < 0,\]所以函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $\left( {a,b} \right)$ 上单调性不一致，因此\[b \leqslant 0.\]由此得当 $x \in \left( { - \infty ,0} \right)$ 时，\[g'\left(x\right) < 0,\]当 $x \in \left( { - \infty ,-\sqrt { - \dfrac{a}{3}} } \right)$ 时，\[f'\left(x\right) > 0,\]因此，当 $x \in \left( { - \infty ,-\sqrt { - \dfrac{a}{3}} } \right)$ 时，\[f'\left(x\right)g'\left(x\right) < 0,\]故由题设得 $a \geqslant - \sqrt { - \dfrac{a}{3}} $ 且 $b \geqslant - \sqrt { - \dfrac{a}{3}} $，从而\[ - \dfrac{1}{3} \leqslant a < 0,\]于是\[ - \dfrac{1}{3} \leqslant b \leqslant 0,\]因此\[\left| {a - b} \right| \leqslant \dfrac{1}{3},\]且当 $a = - \dfrac{1}{3} , b = 0$ 时等号成立．
又当 $a = - \dfrac{1}{3} , b = 0$ 时，\[f'\left(x\right)g'\left(x\right) = 6x\left( {{x^2} - \dfrac{1}{9}} \right),\]从而当 $x \in \left( { - \dfrac{1}{3},0} \right)$ 时，\[f'\left(x\right)g'\left(x\right) > 0,\]故函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $\left( { - \dfrac{1}{3},0} \right)$ 上单调性一致．
因此 $\left| {a - b} \right|$ 的最大值为 $\dfrac{1}{3}$．