题目 已知函数 $f\left(x\right) = \sin \left({\mathrm \pi } - \omega x\right)\cos \omega x + {\cos ^2}\omega x\left(\omega > 0\right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi } $． 问题1 求 $\omega $ 的值； 答案1 解析1 因为\[f\left(x\right) = \sin \left({\mathrm \pi }- \omega x\right)\cos \omega x + {\cos ^2}\omega x,\]所以\[\begin{split}f\left(x\right) &= \sin \omega x\cos \omega x + \dfrac{1 + \cos 2\omega x}{2}\\& = \dfrac{1}{2}\sin 2\omega x + \dfrac{1}{2}\cos 2\omega x + \dfrac{1}{2}\\&= \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \left(2\omega x + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right) + \dfrac{1}{2},\end{split}\]由于 $\omega > 0$，依题意，得 $\dfrac{{2{\mathrm \pi } }}{2\omega } = {\mathrm \pi } $，所以 $\omega = 1$． 备注1 问题2 将函数 $y = f\left(x\right)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y = g\left(x\right)$ 的图象，求函数 $y = g\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi }{16}} \right]$ 上的最小值． 答案2 解析2 由（1）知\[f\left(x\right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi }{4}\right) + \dfrac{1}{2},\]所以\[g\left(x\right) = f\left(2x\right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}\sin \left(4x + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right) + \dfrac{1}{2}.\]当 $x \in \left[ {0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{16}} \right]$ 时，\[\dfrac{{\mathrm \pi } }{4} \leqslant 4x + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4} \leqslant \dfrac{\mathrm \pi }{2},\]所以\[\dfrac{\sqrt 2 }{2} \leqslant \sin \left(4x + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right) \leqslant 1,\]因此\[1 \leqslant g\left(x\right) \leqslant \dfrac{1 + \sqrt 2 }{2},\]故 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{16}} \right]$ 上的最小值为 $ 1 $． 备注2