学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 $ 3 $ 个白球、$ 2 $ 个黑球，乙箱子里装有 $ 1 $ 个白球、$ 2 $ 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 $ 2 $ 个球，若摸出的白球不少于 $ 2 $ 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
【难度】
【出处】
2011年高考天津卷（理）
【标注】
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求在一次游戏中，
① 摸出 $ 3 $ 个白球的概率；
② 获奖的概率；标注答案$\dfrac{1}{5}$；$ \dfrac{7}{10}$解析① 设“在 $ 1 $ 次游戏中摸出 $ i $ 个白球”为事件 $A_i \left(i = 0,1,2,3\right)$，则\[P\left(A_3 \right) = \frac{{{\mathrm {C}}_3^2 }}{{{\mathrm {C}}_5^2 }} \cdot \frac{{{\mathrm {C}}_2^1 }}{{{\mathrm {C}}_3^2 }} = \dfrac{1}{5}.\]② 设“在 $ 1 $ 次游戏中获奖”为事件 $ B $，则 $B = A_2 \cup A_3 $，又\[P\left(A_2 \right) = \frac{{{\mathrm {C}}_3^2 }}{{{\mathrm {C}}_5^2 }} \cdot \frac{{{\mathrm {C}}_2^2 }}{{{\mathrm {C}}_3^2 }} + \frac{{{\mathrm {C}}_3^1 {\mathrm {C}}_2^1 }}{{{\mathrm {C}}_5^2 }} \cdot \frac{{{\mathrm {C}}_2^1 }}{{{\mathrm {C}}_3^2 }} = \frac{1}{2},\]且 $ A_2$，$A_3 $ 互斥，所以\[P\left(B\right) = P\left(A_2 \right) + P\left(A_3 \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \dfrac{7}{10}.\] -
求在两次游戏中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E\left(X\right)$．标注答案分布列 $ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P & \dfrac{9}{100} & \dfrac{21}{50} & \dfrac{49}{100} \\ \hline
\end{array} $ 数学期望 $E\left(X\right) = \dfrac{7}{5}$．解析由题意可知 $ X $ 的所有可能取值为 $ 0$，$ 1 $，$2 $．\[ \begin{split}
P\left(X = 0\right) & = \left(1 - \frac{7}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}, \\
P\left(X = 1\right) & = {\mathrm {C}}_2^1\cdot \frac{7}{10}\cdot\left(1 - \frac{7}{10}\right) = \frac{21}{50}, \\
P\left(X = 2\right) & = \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100}. \\
\end{split} \]所以 $ X $ 的分布列是\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P & \dfrac{9}{100} & \dfrac{21}{50} & \dfrac{49}{100} \\ \hline
\end{array} \]$ X $ 的数学期望\[E\left(X\right) = 0 \times \dfrac{9}{100} + 1 \times \dfrac{21}{50} + 2 \times \dfrac{49}{100} = \dfrac{7}{5}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
