已知函数 $f\left(x\right) = \left(1 + \cot x\right){\sin ^2}x - 2\sin \left(x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}\right)\sin \left(x - \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}\right)$．
【难度】
【出处】
2010年高考江西卷（文）
【标注】
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若 $\tan \alpha = 2$，求 $f\left(\alpha \right)$；标注答案解析由已知得\[\begin{split}f\left(x\right) &= {\sin ^2}x + \sin x\cos x + \cos 2x\\& = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \dfrac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x\\& = \dfrac{1}{2}\left(\sin 2x + \cos 2x\right) + \dfrac{1}{2},\end{split}\]由 $\tan \alpha = 2$，得\[\begin{split}\sin 2\alpha &= \dfrac{{2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{4}{5},\\ \cos 2\alpha &= \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = - \dfrac{3}{5},\end{split}\]将它们代入 $ f(x)$ 的解析式得 $f\left(\alpha \right) = \dfrac{3}{5}.$
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若 $x \in \left[\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{{12}},\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right]$，求 $f\left(x\right)$ 的取值范围．标注答案解析由（1）得\[\begin{split}f\left(x\right) &= \dfrac{1}{2}\left(\sin 2x + \cos 2x\right) + \dfrac{1}{2}\\& = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \left(2x + \dfrac{\pi }{4}\right) + \dfrac{1}{2},\end{split}\]由 $x \in \left[\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{{12}},\dfrac{{\mathrm{\pi}} }{2}\right]$，得\[2x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4} \in \left[\dfrac{{5\pi }}{{12}},\dfrac{{5{\mathrm{\pi }}}}{4}\right],\]所以\[\sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm{\pi}} }{4}\right) \in \left[ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},1\right],\]从而\[f\left(x\right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{4}\right) + \dfrac{1}{2} \in \left[0,\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\right].\]故 $ f(x)$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\right].$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
