解法一：
如图，取 $ CD$ 中点 $ O$，连接 $OB $，$ OM$，则 $ OB\perp CD$，$ OM\perp CD$．
又平面 $MCD\perp 平面 BCD$，则 $MO\perp 平面 BCD$，所以 $ MO\parallel AB $，$ A$，$ B$，$O $，$M $ 四点共面．
延长 $AM $，$ BO$ 相交于 $E $，则 $ \angle AEB$ 就是 $AM $ 与平面 $ BCD$ 所成的角．
由题可得 $OB=MO=\sqrt3 $，$ MO\parallel AB $，则 $ \dfrac{EO}{EB}=\dfrac{MO}{AB}=\dfrac12$，$ EO=OB=\sqrt3$，
所以 $ EB=2\sqrt3=AB$，故 $ \angle AEB=45^\circ$．
解法二：
如图，取 $ CD $ 中点 $ O $，连 $ OB $，$ OM $，则 $ OB\perp CD $，$ OM\perp CD $．
又平面 $MCD \perp平面BCD$，则 $ MO\perp 平面 BCD $．
以 $ O $ 为原点，直线 $ OC $、$ BO $、$ OM $ 为 $ x $ 轴，$ y $ 轴，$ z $ 轴，建立空间直角坐标系如图．$OB=OM= \sqrt 3 $，则各点坐标分别为\[O\left(0,0,0\right) , C\left(1,0,0\right), M\left(0,0, \sqrt 3 \right),B\left(0,- \sqrt 3 ,0\right),A\left(0,- \sqrt 3 ,2 \sqrt 3 \right) ,\]设直线 $ AM $ 与平面 $ BCD $ 所成的角为 $\alpha $．
因 $\overrightarrow {AM} = \left(0,\sqrt 3 , - \sqrt 3 \right)$，平面 $BCD$ 的法向量为 $\overrightarrow n = \left(0,0,1\right)$．则有\[\sin \alpha = \left| {\cos \left\langle {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow n } \right\rangle } \right| = \left| {\dfrac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}}} \right| = \dfrac{\sqrt 3 }{\sqrt 6 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]所以 $\alpha = {45^ \circ }$．

解法一：
$CE $ 是平面 $ ACE$ 与平面 $ BCD$ 的交线．
由（1）知，$ O $ 是 $ BE $ 的中点，则 $ BCED $ 是菱形．
作 $ BF\perp EC $ 于 $ F $，连 $ AF $，则 $ AF\perp EC $，$ \angle AFB $ 就是二面角 $ A-EC-B $ 的平面角，设为 $\theta $．
因为 $ \angle BCE=120^\circ $，所以 $ \angle BCF=60^\circ $，所以 $BF = BC \cdot \sin {60^ \circ } = \sqrt 3 $．
所以 $\tan \theta = \dfrac{AB}{BF} = 2$，$\sin \theta = \dfrac{2\sqrt 5 }{5}$，所以，所求二面角的正弦值是 $\dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．
解法二：
$\overrightarrow {CM} = \left( - 1,0,\sqrt 3 \right)$，$\overrightarrow {CA} = \left( - 1, - \sqrt 3 ,2\sqrt 3 \right)$．
设平面 $ ACM $ 的法向量为 $\overrightarrow {n_1} = \left(x,y,z\right)$，由\[{\begin{cases}
\overrightarrow {n_1} \perp \overrightarrow {CM}, \\
\overrightarrow {n_1} \perp \overrightarrow {CA} ,\\
\end{cases}}\]得\[{\begin{cases}- x + \sqrt 3 z = 0 ,\\
- x - \sqrt 3 y + 2\sqrt 3 z = 0 ,\\
\end{cases}}\]解得 $x = \sqrt 3 z$，$y = z$，取 $\overrightarrow {n_1} = \left(\sqrt 3 ,1,1\right)$．
又平面 $ BCD $ 的法向量为 $\overrightarrow n = \left(0,0,1\right)$，则\[\cos \left \langle\overrightarrow {n_1} ,\overrightarrow n \right\rangle= \dfrac{{\overrightarrow {n_1} \cdot \overrightarrow n }}{{ \left| {\overrightarrow {n_1} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{1}{\sqrt 5 }.\]设所求二面角为 $\theta $，则\[\sin \theta = \sqrt {1 - {{\left(\dfrac{1}{\sqrt 5 }\right)}^2}} = \dfrac{2\sqrt 5 }{5}.\]