已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 $ a $（单位：${\mathrm{ m}}^2 $），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 $ 10\% $ 建设新住房，同时也拆除面积为 $ b $（单位：$ {\mathrm{m}}^2 $）的旧住房．
【难度】
【出处】
2010年高考湖北卷（文）
【标注】
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分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：标注答案解析第 $ 1 $ 年末的住房面积\[a\cdot\dfrac{11}{10} -b= 1.1a- b\left({{\mathrm{m}}^2}\right),\]第 $ 2 $ 年末的住房面积\[\begin{split}\left(a\cdot\dfrac{11}{10} - b\right)\cdot\dfrac{11}{10} - b = a\cdot\left(\dfrac{11}{10}\right)^2 - b\left(1 + \dfrac{11}{10}\right) =\left( 1.21a - 2.1b\right)\left({{\mathrm{m}}^2}\right).\end{split}\]
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如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 $ 30\% $，则每年拆除的旧住房面积 $ b $ 是多少？（计算时取 $ 1.1^5=1.6 $）标注答案解析第 $ 3 $ 年末的住房面积\[\left[ {a\cdot{{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^2} - b\left(1 + \dfrac{11}{10}\right)} \right]\dfrac{11}{10} - b = a\cdot{\left(\dfrac{11}{10}\right)^3} - b\left[ {1 + \dfrac{11}{10} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^2}} \right],\]第 $ 4 $ 年末的住房面积\[a\cdot{\left(\dfrac{11}{10}\right)^4} - b\left[ {1 + \dfrac{11}{10} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^2} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^3}} \right],\]第 $ 5 $ 年末的住房面积\[\begin{split}a\cdot{\left(\dfrac{11}{10}\right)^5} - b\left[ {1 + \dfrac{11}{10} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^2} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^2} + {{\left(\dfrac{11}{10}\right)}^4}} \right] = {1.1^5}a-\dfrac{{1 - {{1.1}^5}}}{1 - 1.1}b = 1.6a - 6b,\end{split}\]依题意可知 $1.6a - 6b = 1.3a$，解得 $b = \dfrac{a}{20}$，所以每年拆除的旧房面积为 $\dfrac{a}{20}\left({{\mathrm{m}}^2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
