题目 设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac a{2}{x^2} +bx + c$，其中 $ a>0 $，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $P\left(0, f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $ y=1 $． 问题1 确定 $ b $、$ c $ 的值； 答案1 解析1 由 $ f(x)=\dfrac13x^3-\dfrac a2x^2+bx+c $，得\[ \begin{split} &f(0)&=c ,\\& f’(x)&=x^2-ax+b ,\\&f’(0)&=b .\end{split}\]根据曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ P(0,f(0)) $ 处的切线方程为 $ y=1 $，得\[ \begin{split}f(0)=1 ,\\ f’(0)=0,\end{split} \]故 $ b=0 $，$ c=1 $． 备注1 问题2 设曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 及 $\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$ 处的切线都过点 $ \left(0,2\right) $ 证明：当 $x_1\ne {x_2}$ 时，$f'\left(x_1\right) \ne f'\left({x_2}\right)$； 答案2 解析2 由题意知\[ \begin{split}f(x)&=\dfrac13x^3-\dfrac a2x^2+1 ,\\ f’(x)&=x^2-ax ,\end{split}\]由于曲线在点 $ (t,f(t)) $ 处的切线方程为\[ y-f(t)=f’(t)(x-t) ,\]而点 $(0,2) $ 在切线上，所以\[2-f(t)= f’(t)(-t) ,\]化简得\[ \dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1=0,\]即 $ t $ 满足的方程为\[\dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1=0. \]下面用反证法证明．<br/>假设 $ f’(x_1)=f’(x_2) $，由于曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ \left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 及 $\left(x_2,f\left(x_2\right)\right) $ 处的切线都过 $ (0,2) $，<br/>则有\[ \begin{cases}\dfrac23x_1^3-\dfrac a2x_1^2+1=0, \quad \cdots \cdots ① \\\dfrac23x_2^3-\dfrac a2x_2^2+1=0, \quad \cdots \cdots ② \\x_1^2-ax_1=x_2^2-ax_2, \quad \cdots \cdots ③ \end{cases}\]由 $ ③ $ 得\[ x_1+x_2=a,\]由 $ ① - ② $ 得\[ x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\dfrac34a^2, \quad \cdots \cdots ④ \]又\[\begin{split}x_1^2+x_1x_2+x_2^2&=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\\&=a^2-x_1\left(a-x_1\right)\\&=x_1^2-ax_1+a^2\\&=\left(x_1-\dfrac a2\right)^2 +\dfrac34a^2\\&\geqslant\dfrac34a^2,\end{split}\]再结合得 $ ④ $ 得\[x_1=\dfrac a2 ,\]此时\[x_2=\dfrac a2, \]这与 $x_1\neq x_2 $ 矛盾，所以 $ f'\left(x_1\right)\neq f'\left(x_2\right)$． 备注2 问题3 若过点 $ \left(0,2\right) $ 可作曲线 $y = f\left(x\right)$ 的三条不同切线，求 $ a $ 的取值范围． 答案3 解析3 由（2）知，过点 $ \left(0,2\right) $ 可作 $y=f\left(x\right) $ 的三条切线，等价于方程\[ 2-f\left(t\right)=f'\left(t\right)\left(0-t\right)\]有三个相异的实根，即等价于方程\[\dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1=0 \]有三个相异的实根．设 $ g\left(t\right)=\dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1$，则\[g'\left(t\right)=2t^2-at=2t\left(t-\dfrac a2\right). \]由于 $ a>0$，则列表如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline<br/>t&\left(-\infty,0\right)&0&\left(0,\dfrac a2\right)&\dfrac a2&\left(\dfrac a2,+\infty\right)\\ \hline<br/>g'\left(t\right)&+&0&-&0&+\\ \hline<br/>g\left(t\right)&↗&极大值1&↘&极小值1-\dfrac{a^3}{24}&↗\\ \hline<br/>\end{array}\]由 $ g\left(t\right)=\dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1$ 的单调性知，要使\[ g\left(t\right)=\dfrac23t^3-\dfrac a2t^2+1=0 \]有三个相异的实根，当且仅当\[1-\dfrac{a^3}{24}<0, \]即\[ a>2\sqrt[3]3,\]所以 $ a $ 的取值范围是 $\left(2\sqrt[3]3,+\infty\right) $． 备注3