设向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 满足 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\dfrac{1}{2}$，$\langle\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\rangle=60^\circ$，则 $\left|\overrightarrow{c}\right|$ 的最大值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考大纲全国卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
以 $O$ 为起点，设向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的终点分别为 $A,B,C$．由 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=-\dfrac 12$ 可得 $\angle{AOB}=120^\circ$，线段 $AB$ 的长为 $\sqrt 3$．
又$$\langle\overrightarrow a-\overrightarrow c,\overrightarrow b-\overrightarrow c\rangle=\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle=\angle{ACB}=60^\circ,$$于是由定长线段的等张角线可知 $C$ 的轨迹为过以 $AB$ 为弦、半径为 $1$ 的两段优弧，从而 $\left|\overrightarrow{c}\right|$ 的最大值为 $2$．
又$$\langle\overrightarrow a-\overrightarrow c,\overrightarrow b-\overrightarrow c\rangle=\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle=\angle{ACB}=60^\circ,$$于是由定长线段的等张角线可知 $C$ 的轨迹为过以 $AB$ 为弦、半径为 $1$ 的两段优弧，从而 $\left|\overrightarrow{c}\right|$ 的最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
