因为 $y=nx^2 $，所以 $y'=2nx $．
又 $ P_n\left(x_n,nx_n^2\right) $，所以曲线 $C_n$ 在点 $ P_n\left(x_n,nx_n^2\right)$ 处的切线 $ l_n$ 为\[y-nx_n^2=2nx_n\left(x-x_n\right) ,\]即\[y=2nx_nx-nx_n^2. \]令 $ x=0$，得 $ Q_n\left(0,-nx_n^2\right)$．

直线 $ l_n$ 的一般式方程为\[y-2nx_nx+nx_n^2 =0,\]原点到 $ l_n$ 的距离为\[ d_ 1=\dfrac{nx_n^2}{\sqrt{1+4n^2x_n^2}},\]线段 $P_nQ_n $ 的长度为\[ d_2=\sqrt{x_n^2+4n^2x_n^4}=x_n\sqrt{1+4n^2x_n^2}.\]所以\[\begin{split}\dfrac{d_1}{d_2}&=\dfrac{nx_n^2}{x_n\left(1+4n^2x_n^2\right)}=\dfrac{nx_n}{1+4n^2x_n^2}\\&=\dfrac n{\dfrac1{x_n}+4n^2x_n}\leqslant\dfrac4{4n}=\dfrac14.\end{split}\]当且仅当 $\dfrac{1}{{{x_n}}} = 4{n^2}{x_n}$，即 ${x_n} = \dfrac{1}{{2n}}$ 时取等号，此时 ${P_n} \left(\dfrac{1}{{2n}},\dfrac{1}{{4n}}\right)$．

由（2）知 ${x_n} = \dfrac{1}{{2n}}$，${y_n} = \dfrac{1}{{4n}}$，于是\[\begin{split}\sum\limits_{n = 1}^s {\left| {\sqrt {\dfrac{{\left(m + 1\right){x_n}}}{2}} - \sqrt {\left(k + 1\right){y_n}} } \right|} &= \sum\limits_{n = 1}^s {\left| {\dfrac{{\sqrt {m + 1} - \sqrt {k + 1} }}{{2\sqrt n }}} \right|} \\&= \sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{{\left| {m - k} \right|}}{{2\sqrt n \left(\sqrt {m + 1} + \sqrt {k + 1} \right)}}}\\& < \sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{{\left| {m - k} \right|}}{{2\sqrt n \left(\sqrt m + \sqrt k \right)}}} \\&= \left| {\sqrt m - \sqrt k } \right|\sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{1}{{2\sqrt n }}} .\end{split}\]现证明：$\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{1}{{2\sqrt n }}} < \sqrt s \left(s = 1,2,3, \cdots \right)$．所以\[\begin{split}\sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{1}{{2\sqrt n }}}& < \sum\limits_{n = 1}^s {\dfrac{1}{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }} = \sum\limits_{n = 1}^s\left( {\sqrt n } - \sqrt {n - 1} \right)\\&= 1 + \left(\sqrt 2 - 1\right) + \left(\sqrt 3 - \sqrt 2 \right) + \cdots + \left(\sqrt s - \sqrt {s - 1} \right) \\&= \sqrt s, \end{split}\]故问题得证．