设数列 $ \left\{a_n\right\} $ 满足 ${a_1} = 2$，${a_{n + 1}} - {a_n} = 3 \cdot {2^{2n - 1}}$．
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（理）
【标注】
-
求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = {2^{2n - 1}}$解析由已知，当 $ n\geqslant 1 $ 时，\[ \begin{split}{a_{n + 1}} & = \left[\left({a_{n + 1}} - {a_n}\right) + \left({a_n} - {a_{n - 1}}\right) + \cdots + \left({a_2} - {a_1}\right)\right] + {a_1} \\&
= 3\left({2^{2n - 1}} + {2^{2n - 3}} + \cdots + 2\right) + 2 \\&
= {2^{2\left(n + 1\right) - 1}} .\end{split} \]而 ${a_1} = 2$，所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = {2^{2n - 1}}$． -
令 ${b_n} = n{a_n}$，求数列 $ \left\{b_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和 ${S_n}$．标注答案${S_n} = \dfrac{1}{9}\left[\left(3n - 1\right){2^{2n + 1}} + 2\right]$解析由\[{b_n} = n{a_n} = n \cdot {2^{2n - 1}}\]知\[{S_n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot {2^3} + 3 \cdot {2^5} + \cdots + n \cdot {2^{2n - 1}} ,\quad \cdots \cdots ① \]从而\[ 2^2 \cdot {S_n} = 1 \cdot 2^3 + 2 \cdot {2^5} + 3 \cdot {2^7} + \cdots + n \cdot {2^{2n + 1}} ,\quad \cdots \cdots ② \]$ ① - ② $ 得\[ \left(1 - {2^2}\right) \cdot {S_n} = 2 + {2^3} + {2^5} + \cdots + {2^{2n - 1}} - n \cdot {2^{2n + 1}} ,\]即\[{S_n} = \dfrac{1}{9}\left[\left(3n - 1\right){2^{2n + 1}} + 2\right].\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
