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如图，已知四棱锥 $ P-ABCD $ 的底面为等腰梯形，$ AB \parallel CD $，$ AC \perp BD $，垂足为 $ H $，$ PH $ 是四棱锥的高，$ E $ 为 $ AD $ 中点．
【难度】
【出处】
2010年高考新课标全国卷（理）
【标注】
  1. 证明：$ PE \perp BC $；
    标注
    答案
    解析
    如图，以 $H$ 为原点，$HA,HB,HP$ 分别为 $x,y,z$ 轴，线段 $HA$ 的长为单位长度，建立空间直角坐标系．则\[A\left(1,0,0\right),B\left(0,1,0\right).\]设\[C\left(m,0,0\right),P\left(0,0,n\right)\left(m < 0,n > 0\right),\]则\[D\left(0,m,0\right),E\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{m}{2},0\right).\]可得\[\overrightarrow {PE} = \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{m}{2}, - n\right),\overrightarrow {BC} = \left(m, - 1,0\right).\]因为\[\overrightarrow {PE} \cdot \overrightarrow {BC} = \dfrac{m}{2} - \dfrac{m}{2} + 0 = 0,\]所以 $PE \perp BC$．
  2. 若 $ \angle APB=\angle ADB=60^\circ $，求直线 $ PA $ 与平面 $ PEH $ 所成角的正弦值．
    标注
    答案
    解析
    由已知条件可得\[m = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},n = 1,\]故\[C\left( - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},0,0\right),D\left(0, - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},0\right),E\left(\dfrac{1}{2}, - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6},0\right),P\left(0,0,1\right).\]设 $\vec n = \left(x,y,x\right)$ 为平面 $PEH$ 的法向量，则\[ \begin{cases}
    \vec n \cdot \overrightarrow {HE} = 0, \\
    \vec n \cdot \overrightarrow {HP} = 0, \\
    \end{cases}\]即\[ \begin{cases}\dfrac{1}{2}x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}y = 0 , \\
    z = 0 ,
    \end{cases} \]因此可以取\[\vec n = \left(1,\sqrt {3},0 \right) ,\]由\[\overrightarrow {PA} = \left(1,0, - 1\right) ,\]可得\[\left| {\cos \left\langle {\overrightarrow {PA,} \vec n} \right\rangle } \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4},\]所以直线 $PA$ 与平面 $PEH$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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