由椭圆定义知\[\left| {A{F_2}} \right| + \left| {B{F_2}} \right| + \left| {AB} \right| = 4a ,\]结合\[2\left| {AB} \right| = \left| {A{F_2}} \right| + \left| {B{F_2}} \right| ,\]得\[\left| {AB} \right| = \dfrac{4}{3}a.\]$l$ 的方程为 $y = x + c$，其中 $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} $．
设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，则 $ A、B $ 两点坐标满足方程组\[{\begin{cases}
y = x + c ,\\
\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ,\\
\end{cases}}\]化简得\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right){x^2} + 2{a^2}cx + {a^2}\left( {{c^2} - {b^2}} \right) = 0,\]则\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2{a^2}c}}{{{a^2} + {b^2}}},{x_1}{x_2} = \dfrac{{{a^2}\left( {{c^2} - {b^2}} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}. \]因为直线 $ AB $ 斜率为 $ 1 $，所以\[\left| {AB} \right| = \sqrt 2 {\left|{x_2-x_1}\right|} = \sqrt{2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]},\]由 $\left| {AB} \right| = \dfrac{4}{3}a$ 得\[\dfrac{4}{3}a = \dfrac{{4a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}},\]化简得\[{a^2} = 2{b^2},\]所以 $ E $ 的离心率是\[e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

设 $ AB $ 的中点为 $N\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，由（1）知\[\begin{split}{x_0} &= \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \dfrac{{ - {a^2}c}}{{{a^2} + {b^2}}} = - \dfrac{2}{3}c ,\\ {y_0}& = {x_0} + c= \dfrac{c}{3} .\end{split}\]由 $\left| {PA} \right| = \left| {PB} \right|$，得 ${k_{PN}} = - 1$，即\[\dfrac{{{y_0} + 1}}{{{x_0}}} = - 1,\]解得\[c = 3,\]从而\[a = 3\sqrt 2 ,b = 3,\]故椭圆 $ E $ 的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{{18}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$．