$a = 0$ 时，\[f\left(x\right) = {{\mathrm {e}}^x} - 1 - x , f'\left(x\right) = {{\mathrm {e}}^x} - 1 .\]当 $x \in \left( - \infty ,0\right)$ 时，$f'\left(x\right) < 0$；当 $x \in \left(0, + \infty \right)$ 时，$f'\left(x\right) > 0$．
故 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty ,0\right)$ 单调递减，在 $\left(0, + \infty \right)$ 单调递增．

对 $f(x)$ 求导得 $f'\left(x\right) = {{\mathrm {e}}^x} - 1 - 2ax,x\geqslant 0$．
由（1）知 ${{\mathrm {e}}^x} \geqslant 1 + x$，当且仅当 $x = 0$ 时等号成立．故\[f'\left(x\right) \geqslant x - 2ax = \left(1 - 2a\right)x ,\]从而当 $1 - 2a \geqslant 0$，即 $a \leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，\[ f'\left(x\right) \geqslant 0 ,\]而 $f\left(0\right) = 0$，于是当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left(x\right) \geqslant 0$．
由 $ {{\mathrm {e}}^x} > 1 + x\left(x \ne 0\right)$，可得\[{{\mathrm {e}}^{ - x}} > 1 - x\left(x \ne 0\right) .\]从而当 $a > \dfrac{1}{2}$ 时，\[ f'\left(x\right) < {{\mathrm {e}}^x} - 1 + 2a\left({{\mathrm {e}}^{ - x}} - 1\right) = {{\mathrm {e}}^{ - x}}\left({{\mathrm {e}}^x} - 1\right)\left({{\mathrm {e}}^x} - 2a\right) ,\]故当 $x \in \left(0,\ln 2a\right)$ 时，$f'\left(x\right) < 0$，而 $f\left(0\right) = 0$，
于是当 $x \in \left(0,\ln 2a\right)$ 时，$f\left(x\right) < 0$．
综合得 $a$ 的取值范围为 $\left( - \infty ,\dfrac{1}{2}\right]$．