题目 已知等比数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的公比 $q = 3$，前 $3$ 项和 ${S_3} = \dfrac{{13}}{3}$． 问题1 求数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的通项公式； 答案1 解析1 由 $q = 3$，${S_3} = \dfrac{{13}}{3}$ 得\[\dfrac{{{a_1}\left( {1 - {3^3}} \right)}}{{1 - 3}} = \dfrac{{13}}{3},\]解得\[{a_1} = \dfrac{1}{3}.\]所以\[{a_n} = \dfrac{1}{3} \times {3^{n - 1}} = {3^{n - 2}}.\] 备注1 问题2 若函数 $f\left(x\right) = A\sin \left(2x + \varphi \right)\left(A > 0,0 < \varphi < {\mathrm{\pi }}\right)$ 在 $x = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$ 处取得最大值，且最大值为 ${a_3}$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式． 答案2 解析2 由（1）可知 ${a_n} = {3^{n - 2}}$，所以\[{a_3} = 3;\]因为函数 $f\left( x \right)$ 的最大值为 $3$，所以\[A = 3;\]因为当 $x = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$ 时 $f\left( x \right)$ 取最大值，所以\[\sin \left( {2 \times \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6} + \varphi } \right) = 1.\]又 $0 < \varphi < {\mathrm{\pi }}$，故\[\varphi = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}.\]所以函数 $f\left( x \right)$ 的解析式为\[f\left( x \right) = 3\sin \left( {2x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right).\] 备注2