某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 $y$（单位：千克）与销售价格 $x$（单位：元/千克）满足关系式 $y = \dfrac{a}{x - 3} + 10{\left(x - 6\right)^2}$，其中 $3 < x < 6$，$a$ 为常数，已知销售价格为 $5$ 元/千克时，每日可售出该商品 $11$ 千克．
【难度】
【出处】
2011年高考福建卷（理）
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案解析因为 $x = 5$ 时，$y = 11$，所以\[\dfrac{a}{2} + 10 = 11,a = 2.\]
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若该商品的成本为 $3$ 元/千克，试确定销售价格 $x$ 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．标注答案解析由（1）可知，该商品每日的销售量\[y = \dfrac{2}{x - 3} + 10{\left( {x - 6} \right)^2},\]所以商场每日销售该商品所获得的利润\[\begin{split}f\left( x \right) &= \left( {x - 3} \right)\left[ {\dfrac{2}{x - 3} + 10{{\left( {x - 6} \right)}^2}} \right] \\&= 2 + 10\left( {x - 3} \right){\left( {x - 6} \right)^2},3 < x < 6,\end{split}\]从而，\[\begin{split}f'\left( x \right) &= 10\left[ {{{\left( {x - 6} \right)}^2} + 2\left( {x - 3} \right)\left( {x - 6} \right)} \right] \\&= 30\left( {x - 4} \right)\left( {x - 6} \right),\end{split}\]于是，当 $x$ 变化时，$f'\left( x \right),f\left( x \right)$ 的变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x & \left(3,4\right) & 4 & \left(4,6\right) \\ \hline
f'\left(x\right) & + & 0 & - \\ \hline
f\left(x\right) & 单调递增 & 极大值42 & 单调递减 \\ \hline
\end{array}\]由上表可得，$x = 4$ 是函数 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( {3,6} \right)$ 内的极大值点，也是最大值点．
所以，当 $x = 4$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 取得最大值，且最大值等于 $42$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
