设 $a>b>c>0$，则 $2a^2+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
先将 $a,b$ 均视为常数，则原式为关于 $c$ 的二次多项式，其中与 $c$ 相关的部分$$-10ac+25c^2\geqslant -a^2,$$其中等号当且仅当 $c=\dfrac a5$ 时取得．
此时问题转化为二元问题，求$$a^2+\dfrac {1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}$$的最小值．
将 $a$ 视为常数，则原式中与 $b$ 相关的部分$$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab},$$注意到此为和为定值的两个数的倒数和，因此运用均值不等式，可得$$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab}\geqslant \dfrac{4}{a^2},$$其中等号当且仅当 $b=\dfrac a2$ 时取得．
此时问题转化为单变元问题，求 $a^2+\dfrac 4{a^2}$ 的最小值，容易求得当 $a=\sqrt{2}$ 时，该式取得最小值为 $4$．
此时问题转化为二元问题，求$$a^2+\dfrac {1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}$$的最小值．
将 $a$ 视为常数，则原式中与 $b$ 相关的部分$$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab},$$注意到此为和为定值的两个数的倒数和，因此运用均值不等式，可得$$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2-ab}\geqslant \dfrac{4}{a^2},$$其中等号当且仅当 $b=\dfrac a2$ 时取得．
此时问题转化为单变元问题，求 $a^2+\dfrac 4{a^2}$ 的最小值，容易求得当 $a=\sqrt{2}$ 时，该式取得最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
