题目 某产品按行业生产标准分成 $8$ 个等级，等级系数 $X$ 依次为 $1,2, \cdots ,8$，其中 $X \geqslant 5$ 为标准 $A$，$X \geqslant 3$ 为标准 $B$，已知甲厂执行标准 $A$ 生产该产品，产品的零售价为 $6$ 元/件；乙厂执行标准 $B$ 生产该产品，产品的零售价为 $4$ 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．<br/>注：（1）产品的"性价比"= $\dfrac{产品的等级系数的数学期望}{产品的零售价}$；<br/>（2）"性价比"大的产品更具可购买性． 问题1 已知甲厂产品的等级系数 ${X_1}$ 的概率分布列如下表所示：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>{X_1} & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline<br/>P & 0.4 & a & b & 0.1 \\ \hline \end{array} \]且 ${X_1}$ 的数学期望 $E{X_1} = 6$，求 $a,b$ 的值； 答案1 解析1 因为 $E{X_1} = 6$，所以\[5 \times 0.4 + 6a + 7b + 8 \times 0.1 = 6,\]即 $6a + 7b = 3.2$．又由 ${X_1}$ 的概率分布列得\[0.4 + a + b + 0.1 = 1,\]即 $a + b = 0.5$．由\[\begin{cases}<br/>6a + 7b = 3.2, \\<br/>a + b = 0.5 ,\\<br/>\end{cases}\]解得 $\begin{cases}a = 0.3 ,\\<br/>b = 0.2 .\\<br/>\end{cases}$ 备注1 问题2 为分析乙厂产品的等级系数 ${X_2}$，从该厂生产的产品中随机抽取 $30$ 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：\[ \begin{array}{cccccccccc} 3 & 5 & 3 & 3 & 8 & 5 & 5 & 6 & 3 & 4 \\<br/>6&3&4&7&5&3&4&8&5&3 \\<br/>8&3&4&3&4&4&7&5&6&7 \\ \end{array} \]用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 ${X_2}$ 的数学期望． 答案2 解析2 由已知得，样本的频率分布表如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>{X_2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline<br/>f & 0.3 & 0.2 & 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ \hline<br/>\end{array}\]用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 ${X_2}$ 的概率分布列如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline<br/>{X_2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline<br/>P & 0.3 & 0.2 & 0.2 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ \hline \end{array}\]所以\[\begin{split}E{X_2} &= 3 \times 0.3 + 4 \times 0.2 + 5 \times 0.2 + 6 \times 0.1 + 7 \times 0.1 + 8 \times 0.1 \\&<br/>= 4.8,\end{split}\]即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 $4.8$． 备注2 问题3 在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 答案3 解析3 乙厂的产品更具可购买性，理由如下：<br/>因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 $6$，价格为 $6$ 元/件，所以其性价比为\[\dfrac{6}{6} = 1;\]因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 $4.8$，价格为 $4$ 元/件，所以其性价比为\[\dfrac{4.8}{4} = 1.2,\]据此，乙厂的产品更具可购买性． 备注3