设矩阵 $M = \begin{pmatrix}
a&0 \\
0&b
\end{pmatrix} $（其中 $a > 0,b > 0$）．
a&0 \\
0&b
\end{pmatrix} $（其中 $a > 0,b > 0$）．
【难度】
【出处】
2011年高考福建卷（理）
【标注】
-
若 $a = 2,b = 3$，求矩阵 $M$ 的逆矩阵 ${M^{ - 1}}$；标注答案解析设矩阵 $M$ 的逆矩阵 $ {M^{ - 1}} = \begin{pmatrix}
{x_1}&{y_1} \\
{x_2}&{y_2}
\end{pmatrix} $，则\[M{M^{ - 1}} = \begin{pmatrix}1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}, \]又 $M = \begin{pmatrix}2&0 \\
0&3
\end{pmatrix}$，所以\[ \begin{pmatrix}2&0 \\
0&3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x_1}&{y_1} \\
{x_2}&{y_2}
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0 \\
0&1
\end{pmatrix},\]所以 $2{x_1} = 1,2{y_1} = 0,3{x_2} = 0,3{y_2} = 1$，即\[{x_1} = \dfrac{1}{2},{y_1} = 0,{x_2} = 0,{y_2} = \dfrac{1}{3},\]故所求的逆矩阵为\[{M^{ - 1}} = \begin{pmatrix}
\dfrac 1 2 &0 \\
0& \dfrac 1 3
\end{pmatrix} .\] -
若曲线 $C:{x^2} + {y^2} = 1$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下得到曲线 $C' : \dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$，求 $a,b$ 的值．标注答案解析设曲线 $C$ 上任意一点 $P\left( {x,y} \right)$，它在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下得到 $P'\left( {x',y'} \right),$ 则\[\begin{pmatrix}
a&0 \\
0&b
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\
y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x' \\
y'
\end{pmatrix},\]即\[\begin{cases}ax = x', \\
by = y'. \\
\end{cases}\]又点 $P'\left( {x',y'} \right)$ 在曲线 $C'$ 上，所以\[\dfrac{{{{x'}^2}}}{4} + {y'^2} = 1,\]则 $\dfrac{{{a^2}{x^2}}}{4} + {b^2}{y^2} = 1$ 为曲线 $C$ 的方程．
又已知曲线 $C$ 的方程为 ${x^2} + {y^2} = 1$，故\[\begin{cases}
{a^2} = 4, \\
{b^2} = 1. \\
\end{cases}\]又 $a > 0,b > 0$，所以\[\begin{cases}a = 2, \\
b = 1. \\
\end{cases}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
