题目 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的方程为 $x - y + 4 = 0$，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases}<br/>x = \sqrt 3 \cos \alpha \\<br/>y = \sin \alpha \\<br/>\end{cases}} \left(\alpha 为参数\right)$． 问题1 已知在极坐标（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，点 $P$ 的极坐标为 $\left( {4,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right)$，判断点 $P$ 与直线 $l$ 的位置关系； 答案1 解析1 把极坐标系下的点 $P\left( {4,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right)$ 化为直角坐标系，得 $P\left( {0,4} \right)$．<br/>因为点 $P$ 的直角坐标 $\left( {0,4} \right)$ 满足直线 $l$ 的方程\[x - y + 4 = 0,\]所以点 $P$ 在直线 $l$ 上． 备注1 问题2 设点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，求它到直线 $l$ 的距离的最小值． 答案2 解析2 因为点 $Q$ 在曲线 $C$ 上，故可设点 $Q$ 的坐标为 $\left( {\sqrt 3 \cos \alpha ,\sin \alpha } \right)$，<br/>从而点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离为\[\begin{split}d & = \dfrac{{\left| {\sqrt 3 \cos \alpha - \sin \alpha + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} \\& = \dfrac{{2\cos \left( {\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right) + 4}}{{\sqrt 2 }} \\& = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right) + 2\sqrt 2,\end{split}\]由此得，当 $\cos \left( {\alpha + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right) = - 1$ 时，$d$ 取得最小值，且最小值为 $\sqrt 2 $． 备注2